1 \documentclass[11pt、a4paper]{jsarticle}
   2 
   3 \begin{document}
   4 \pagestyle{empty}
   5 % \title{}
   6 % \author{}
   7 % \date{年月日}
   8 
   9 % \maketitle
  10 
  11 \section{目的}
  12 
  13 ボルダの振り子を用いて振り子の周期を精密に測定する事により、 重力加速度を 4 桁の精度で測定する。
  14 
  15 \section{原理}
  16 
  17 \subsection{振り子の周期}
  18 
  19 鉛直線を含む平面上振動する単振り子を考える。 振り子の長さを $h$ とすると、
  20 その周期 $T$ は次式で表される。
  21 
  22 \begin{equation}
  23  T = 2 \pi \sqrt{\frac{h}{g}}
  24 \end{equation}
  25 
  26 この式を変形すると次式となり、 振り子の周期 $T$ を測ることによって重力加速度を求めることができるのが分かる。
  27 
  28 \begin{equation}
  29 g = \frac{4 \pi^2 h}{T^2}
  30 \end{equation}
  31 
  32 振り子の長さを $h = 1$ m とすると、 周期は約 2 秒 になる。 
  33 振り子の長さを不確かさ 1 mm 以内の精度で測るのは容易である。
  34 しかしストップウォッチなどを用いて周期を測定した場合、周期の不確かさは 1/200 程度であり
  35 $g$ を求める式の中に周期は 2 乗の形で入っているので $g$ の不確かさは 1/100 となる。
  36 この方法では$g$に対して$0.1\ \mathrm{m/s^2}$ほどの不確かさが生じることになる。
  37 
  38 この例より、$g$ をより精密に測るためには周期をもっと高精度で測定する必要がある。
  39 
  40 \subsection{周期の精密測定}
  41 
  42 約 2 秒の周期で振動している振り子を正確に $T_0 = 2$ s 毎の光パルスで照明するとする。
  43 薄暗い視野の中で振動を観測すると振り子の周期 $T$ が正確に $T_0 = 2$ s でないとすると、 
  44 2 秒ごとに光パルスで照らされているときの位置は少しずつずれていく。
  45 
  46 望遠鏡でのぞいていると 2 秒ごとに輝く金属線が視野の中を長い周期で左右に往復する。
  47 この長い周期 $\tau$ を測ると振り子の周期 $T$ は次式から求めることができる。
  48 
  49 \begin{equation}
  50 \frac{1}{T_0} - \frac{1}{T} = \frac{\pm 1}{\tau}
  51 \end{equation}
  52 
  53 \begin{equation}
  54 T = T_0 \pm \frac{T_0^2}{\tau \mp T_0}
  55 \end{equation}
  56 
  57 符号は $ T < T_0 $ のときは下を、 $ T > T_0 $ のときは上をとる。
  58 
  59 周期 $T$ の不確かさを $\Delta T$ とすると、 $\Delta T$は次式で計算できる。
  60 
  61 \begin{equation}
  62 \Delta T = \frac{T_0^2}{(\tau \pm T_0)^2} \Delta \tau \cong \frac{4}{\tau^2} \Delta \tau
  63 \end{equation}
  64 
  65 この方法で周期がどのくらいの精度で測定できるかを考える。 $ \tau = 200$ s とし
  66 その不確かさ $ \Delta \tau = 1$ s とする。 このとき振り子の周期の不確かさ
  67 $ \Delta T \cong (T_0/\tau)^2 \Delta \tau $ は $(2/200)^2 \times 1$ s $= 10^{-4}$ s である。
  68 
  69 つまり周期の相対的な不確かさは $ \Delta T/T \cong 5 \times 10^{-5} $ である。
  70 
  71 \subsection{精密測定に伴う問題}
  72 
  73 周期の式は次の仮定のもとに導かれたものである。
  74 
  75 \begin{itemize}
  76     \item おもりの大きさが無視できる。
  77     \item 振動の振幅が十分に小さい。
  78 \end{itemize}
  79 
  80 $10^{-4}$ の精度が問題となると重りの大きさや振り子の振幅の影響も考慮しなければならなくなる。
  81 
  82 おもりを半径 $r$ の球とし振り子の最大振れ角を $ \theta $ とすると周期は次式で表されることが知られている。
  83 
  84 \begin{equation}
  85 T = 2 \pi (1 + \frac{\theta^2}{16}) \sqrt{\frac{h}{g} (1 + \frac{2 r^2}{5 h^2}) }
  86 \end{equation}
  87 
  88 $g$ についてとくと次式が得られる。
  89 
  90 \begin{equation}
  91 g = \frac{4 \pi^2 h}{T^2} (1 + \frac{2r^2}{5h^2} + \frac{\theta^2}{8})
  92 \end{equation}
  93 
  94 振角 $\theta$ は、 スケール上の振幅 $a$ と支点からスケールまでの距離 $l$ で
  95 $\theta \cong \tan{\theta} = a/l$と計算される。
  96 
  97 周期の測定を始めるときの振幅 $a_i$、 と終えたときの振幅 $a_f$を測定し、
  98 $\theta^2 = a_i a_f / l^2$ として本実験では次式で重力加速度 $g$ の値を計算する。
  99 
 100 \begin{equation}
 101 g = \frac{4 \pi^2 h}{T^2} (1 + \frac{2r^2}{5h^2} + \frac{a_i a_f / l^2}{8})
 102 \end{equation}
 103 
 104 以下のような配慮をすれば重力加速度を不確かさ $\pm 0.1$ cm/s$^2$ で求めることができる。
 105 
 106 ここで $h$ は金属球の中心から吊り金具 A の支点の下端までの長さであり、
 107 金属球の下から吊り金具 A の支点の下端までの長さを $h'$としたとき
 108 $h = h`-d/2$ で計算される。
 109 
 110 また $h$ の不確かさを $\Delta h$ とすると、  $\Delta h$ は次式で計算される。
 111 
 112 \begin{equation}
 113 \Delta h = \sqrt{(\Delta h^{\prime})^2 + (\frac{\Delta d}{2})^2}
 114 \end{equation}
 115 
 116 重力加速度 $g$ の不確かさ $\Delta g $ は、 $\Delta h$、 $\Delta T$ を用いて
 117 
 118 \begin{equation}
 119 \Delta g = g \sqrt{(\frac{\Delta h}{h})^2 + (\frac{2\Delta T}{T})^2}
 120 \end{equation}
 121 
 122 と計算される。
 123 
 124 \section{実験方法}
 125 
 126 以下のような手順で実験を行った。
 127 
 128 \begin{itemize}
 129     \item ノギスを用いて金属球の直径 $d$ を測定した。
 130     \item 備え付きの三脚台 B を固定台 C の上において水準器を用いて三脚台の上面を水平にした。
 131     \item 針金を付ける前の吊り金具 A を三脚台の上に乗せて振動させた。
 132      この振動の周期がおよそ 2 秒になるように調整用ナット $A_1$ を回し調整した。
 133     \item 調整後吊り金具 A に吊り線をつけ、 その吊り線の他端に金属球をつけた。
 134     \item 金属球の下から吊り金具 A の支点の下端までの長さ $h$' を金尺で測定した。
 135     \item 針金と金属球を取り付けた吊り金具 A を三脚台 B にセットして振動させた。
 136     その周期がおよそ 2 秒であることを確認した。
 137     \item 望遠鏡を覗いて振動の振幅 a を測定した。
 138     \item 振動の中心近くに基準線を設定し光パルスを照射した。
 139     輝線がその基準線に一致してから、 1 周期移動するまでの時間 $\tau$ を1回測定した。
 140     \item 測定を終えた後もう一度 $h$' を測定し、 変化がないことを確認した。
 141     \item 針金の長さを少し短くした後、 同様の測定をもう一度行った。
 142 \end{itemize}
 143 
 144 \section{実験結果}
 145 
 146 \begin{itemize}
 147     \item 1回目の実験
 148 \end{itemize}
 149 
 150 金属球の直径 d は d = 31.72 mm
 151 
 152 金属球の直径の不確かさ $ \Delta d = 0.05$ mm
 153 
 154 金属球の下から吊り金具 A の支点の下端までの長さ $h' = 1025.3$ mm
 155 
 156 金属球の中心から吊り金具 A の支点の下端までの長さ $h = h^{\prime} - d/2 = 1009.4$ mm
 157 
 158 $h^{\prime}$ の不確かさ $ \Delta h^{\prime} = 0.1$ mm
 159 
 160 吊り金具 A の支点下端から基準線までの長さ $l = 886.3$ mm
 161 
 162 測定を開始するときの振動の振幅 $ a_i = 57.5$ mm
 163 
 164 測定が終了したときの振動の振幅 $ a_f = 25.5$ mm
 165 
 166 輝線の振動周期 $\tau = 236$ s、 振動周期の不確かさ $\Delta \tau = 2 $ s
 167 
 168 周期 $T$ は (4) 式から、
 169 
 170 \[ T = 2 + \frac{4}{236-2} = 2.01709 \ \mathrm{s} \]
 171 
 172 と求められる。
 173 
 174 重力加速度 $g$ は(8)式から、
 175 
 176 \[ g = \frac{4 \pi^2 \times 1.0094}{2.01709^2} (1 + \frac{2 \times 15.86^2}{5 \times 1009.4^2} + \frac{57.5 \times 25.5 / 886.3^2}{8}) = 9.79753 \ \mathrm{m/s^2}\]
 177 
 178 と求められる。
 179 
 180 周期 $T$ の不確かさ $ \Delta T $ は (5)式から
 181 
 182 \[ \Delta T = \frac{4}{236^2} \times 2 = 0.0001436368 \ \mathrm{s} \]
 183 
 184 と求められる。
 185 
 186 金属球の中心から吊り金具 A の支点の下端までの長さ $h$ の不確かさ $\Delta h$ は (9)式から
 187 
 188 \[ \Delta h = \sqrt{0.1^2 + (\frac{0.05}{2})^2} = 0.103 \ \mathrm{mm}\]
 189 
 190 したがって重力加速度の不確かさは(10)式より
 191 
 192 \begin{eqnarray*}
 193 \Delta g &=&9.79753 \times \sqrt{(\frac{0.103}{1009.4})^2 + (\frac{2 \times 0.0001436368}{2.01709})^2} \\
 194          &=& 0.001716... \ \mathrm{m/s^2}
 195 \end{eqnarray*}
 196 
 197 よって重力加速度 $g$ は
 198 
 199 \[ g = (9.706 \pm 0.002) \ \mathrm{m/s^2} \]
 200 
 201 と求められた。
 202 
 203 \begin{itemize}
 204     \item 2回目の実験
 205 \end{itemize}
 206 
 207 金属球の直径 d、 金属球の直径の不確かさ $ \Delta d $、 吊り金具 A の支点下端から基準線までの長さ $l$ は 1回目と共通であった。
 208 
 209 金属球の下から吊り金具 A の支点の下端までの長さ $h' = 990.0$ mm
 210 
 211 金属球の中心から吊り金具 A の支点の下端までの長さ $h = h^{\prime} - d/2 = 974.2$ mm
 212 
 213 $h^{\prime}$ の不確かさ $ \Delta h^{\prime} = 0.1$ mm
 214 
 215 測定を開始するときの振動の振幅 $ a_i = 58.5$ mm
 216 
 217 測定が終了したときの振動の振幅 $ a_f = 38.0$ mm
 218 
 219 輝線の振動周期 $\tau = 160$ s、 振動周期の不確かさ $\Delta \tau = 2$ s
 220 
 221 であった。
 222 
 223 1回目と同様に計算すると
 224 
 225 周期 $T$ は $T = 2.02532$ s、 周期 $T$ の不確かさ $\Delta T$ は $\Delta T = 0.0003125 \ \mathrm{s}$
 226 
 227 重力加速度 $g$ は $g = 9.38037464 \ \mathrm{m/s}$
 228 
 229 金属球の中心から吊り金具 A の支点の下端までの長さ $h$ の不確かさ $\Delta h$は $\Delta h = 0.103 \ \mathrm{mm} $
 230 
 231 重力加速度の不確かさ $\Delta g$ は $\Delta g = 0.003060$
 232 
 233 よって重力加速度 $g$ は
 234 
 235 \[ g = (9.380 \pm 0.003) \ \mathrm{m/s^2} \]
 236 
 237 と求められた。
 238 
 239 結果をまとめると以下の表に示すとおりである。
 240 
 241 \begin{table}[htb]
 242     \centering
 243     \caption{重力加速度の値}
 244     \begin{tabular}{cc} \\
 245         1回目 $/ \mathrm{(m/s)}$ & 2回目 $/ \mathrm{(m/s)} $ \\
 246         \hline
 247          $(9.706 \pm 0.002)$ & $ (9.380 \pm 0.003)$ \\
 248     \end{tabular}
 249 \end{table}
 250 
 251 
 252 \section{考察}
 253 
 254 \subsection{実験結果について}
 255 
 256 1回目の実験で得られた重力加速度の値は $ (9.706 \pm 0.002) \ \mathrm{m/s}$、
 257 2回目の実験で得られた重力加速度の値は $ (9.380 \pm 0.003) \ \mathrm{m。s}$ であった。
 258 
 259 両者の値は不確かさの範囲が互いに重なっていない。 その理由を考察する。
 260 考えられる理由は金属球の下から吊り金具 A の支点の下端までの長さを金尺で測った際に
 261 不確かさを最小目盛りの十分の一である $0.1 \ \mathrm{mm}$ としたが、 実際にはより大きな値となっていた可能性である。
 262 また、周期の精密測定の際に、端に到達したことが分かりづらく、実際と大きく離れている値を取ってしまったことなどが考えられる。
 263 
 264 
 265 %\subsection{国内で重力加速度が最大または最小になる地点}
 266 %
 267 %重力は地球の引力と遠心力の合力である。 したがって地球を球とみなせば国内において重力加速度が最大となるのは最も極に近い北海道
 268 %の最北端択捉島・カモイワッカ岬であり最小となるのは最も極から遠い最南端の沖ノ鳥島となると考えられる。
 269 %
 270 \section{参考文献}
 271 
 272 \begin{itemize}
 273     \item 基礎科学実験A(物理学実験) 平成29年度版
 274 \end{itemize}
 275 
 276 \end{document}