1 \documentclass[11pt、a4paper]{jsarticle}
   2 \usepackage[dvipdfmx]{graphicx}
   3 \begin{document}
   4 \pagestyle{empty}
   5 % \title{}
   6 % \author{}
   7 % \date{年月日}
   8 
   9 % \maketitle
  10 
  11 \section{目的}
  12 
  13 今回の実験では、物理学において最も基本的な定数のひとつである光速度を、半導体レーザーからのナノ秒光パルスとオシロスコープを用いて直接測定する。
  14 また、同軸ケーブルを信号が伝わる速度の測定も行う。
  15 \section{原理}
  16 
  17 \subsection{屈折率}
  18 
  19 真空中の光速度は自然界における最大速度である。 透明な物質中では光の速さは真空中よりも遅い。
  20 真空中の光速度 $c$ を物質中の光速度 $v$ で割った値を物質の屈折率という。
  21 すなわち屈折率 $n$ は次式で定義される。
  22 
  23 \[n = \frac{c}{v} \]
  24 
  25 屈折率は光の波長で少し変化する。 可視光領域では波長が長くなると屈折率は小さくなる。
  26 
  27 \begin{table}[htb]
  28     \centering
  29     \caption{波長 589 nm における物質の屈折率}
  30     \begin{tabular}{ccc} \\
  31         \hline
  32         物質 & 屈折率 \\
  33         \hline
  34         空気 (15$^\circ$C、 1 atm) & 1.000277 \\
  35         水 (20$^\circ$C) & 1.3330   \\
  36         石英 & 1.4585 \\
  37         光学ガラス (BK7) & 1.5168 \\
  38         ダイヤモンド & 2.4195 \\
  39         \hline
  40     \end{tabular}
  41 \end{table}
  42 
  43 \subsection{本実験の原理}
  44 
  45 半導体レーザーからの繰り返し周波数約 15MHz の光パルス列を数メートル離れたプリズム反射器
  46 で反射させて光検出器に導く。 また半導体のレーザー近くで光を反射させて同じ光検出器に導く。
  47 
  48 光検出器の出力信号をオシロスコープに導き2つの光パルスの時間間隔 $T$ を測定する。
  49 次にレーザー近くで反射させた光とプリズム反射器で反射させた光の光路差 L を測定する。 このとき光速度 c は次式で計算される。
  50 
  51 \[ c = \frac{L}{T} \]
  52 
  53 \section{実験方法}
  54 
  55 以下のような手順で実験を行った。
  56 
  57 \subsection{光速度の測定}
  58 
  59 \begin{itemize}
  60     \item テキストの図10.8のように装置を配線した。
  61     \item 装置の電源を入れ半導体レーザーから連続光を出した。
  62     \item 各装置の位置や角度を調整した。
  63     \item 半導体レーザーの出力を短い光パルスにした。
  64     \item オシロスコープで2つのパルスが観測できるようになったら、
  65     その間の時間間隔 $T$ を測定した。
  66     \item 光路の長さを以下の手順で測定した。
  67     \begin{itemize}
  68         \item 半透明鏡からプリズム反射器のプリズム面までの距離 $d_1$、 光検出器からプリズム面までの距離 $d_2$、
  69         半透明鏡から光検出器までの距離 $d_3$ およびプリズム間の距離 $l_0$、 $l_1$ を巻き尺を使って測定した。
  70         \item 光路差 $L$ を次式にガラスの屈折率 n = 1.5 を代入して求めた。 $ L = d_1 + d_2 - d_3 + n(l_0 - l_1) + l_1 $
  71     \end{itemize}
  72     \item 光速度 $c$ を $ c = \frac{L}{T} $ より求めた。
  73     \item この操作をプリズム台の位置を変えて合計2回行った。
  74 \end{itemize}
  75 
  76 %\subsection{水の屈折率の測定}
  77 %
  78 %\begin{itemize}
  79 %    \item 光路 $d_2$ に水の入ったガラス管を挿入し光速度の測定と同様の手順で時間間隔 $T'$ を測定した。
  80 %    \item ガラス管の長さ $l$ を測定した。
  81 %    \item 水を挿入したことにより生じた時間差を $t = T' - T$、 ガラス管の長さを $l$ とおくと水の屈折率は
  82 %    $ n = 1 + \frac{ct}{l} $ で計算されることを利用し測定値から水の屈折率 $n$ を計算した。
  83 %\end{itemize}
  84 \subsection{同軸ケーブルを伝わる信号速度の測定}
  85 
  86 \begin{itemize}
  87     \item テキストの図10.10の通りになるように配線をした。
  88     \item オシロスコープ、パルス発生器の電源を入れた。
  89     \item 直接来たパルスと終端の反射によって生じたパルスとの時間間隔 $T$ を
  90     オシロスコープにより波形を観測することで測定した。
  91     \item 同軸ケーブルを取り外してその長さ $L$ を測定した。
  92     \item 信号の速さ $v$ を $ v = \frac{2L}{T} $ より求めた。
  93 \end{itemize}
  94 
  95 \clearpage
  96 
  97 \section{実験結果}
  98 
  99 \subsection{光速度の測定}
 100 
 101 パルスの時間間隔 $T$、 透明鏡からプリズム反射器のプリズム面までの距離 $d_1$、 光検出器からプリズム面までの距離 $d_2$、
 102 半透明鏡から光検出器までの距離 $d_3$ およびプリズム間の距離 $l_0$、 $l_1$ を測定した結果は上の表の通りであった。
 103 
 104 \begin{table}[htb]
 105     \centering
 106     \caption{光速度の測定}
 107     \begin{tabular}{ccccccc} \\
 108         \hline
 109         T/ns & $d_1$/cm & $d_2$/cm & $d_3$/cm & $l_0$/cm & $l_1$/cm\\
 110         \hline
 111         15.6 & 229.8 & 304.1 & 76.6 & 17.8 & 12.8 \\
 112         7.90 & 106.2 & 180.3 & 75.3 & 17.8 & 12.8 \\
 113         \hline
 114     \end{tabular}
 115 \end{table}
 116 \subsection{1回目のデータによる計算}
 117 したがって、 光路差  $ L = d_1 + d_2 - d_3 + n(l_0 - l_1) + l_1 $ から
 118 
 119 \[
 120 L = 229.8 + 304.1 - 76.6 + 1.5 \times (17.8 - 12.8) + 12.8 = 477.6 \ \mathrm{cm}
 121 \]
 122 
 123 よって光速度は $ c = \frac{L}{T} $ より、
 124 
 125 \[
 126 c = \frac{477.6 \times 10^{-2}}{15.6 \times 10^{-9}} = 306153846.1 \cong 3.06 \times 10^8 \ \mathrm{m/s}
 127 \]
 128 
 129 光路差の不確かさを $\Delta L$、 パルスの時間間隔の不確かさを $\Delta T$ とすると、 光速度 $c$ の不確かさ $\Delta c$は次式で求められる。
 130 
 131 \[
 132 \Delta c = c \sqrt{(\frac{\Delta L}{L})^2 + (\frac{\Delta T}{T})^2}
 133 \]
 134 
 135 $\Delta L = 1.0 \ \mathrm{cm}$、 $\Delta T = 0.5 \ \mathrm{ns}$ として代入すると、
 136 
 137 \[
 138 \Delta c = 3.06 \times 10^8 \times \sqrt{(\frac{1.0}{477.6})^2 + (\frac{0.5}{15.6})^2} = 1171498.73 \cong 0.01 \times 10^8 \ \mathrm{m/s}
 139 \]
 140 
 141 したがって光速度は $c = (3.06 \pm 0.01) \times 10^8 \ \mathrm{m/s}$ と求められた。
 142 \subsection{2回目のデータによる計算}
 143 したがって、 光路差  $ L = d_1 + d_2 - d_3 + n(l_0 - l_1) + l_1 $ から
 144 
 145 \[
 146 L = 106.2 + 180.3 - 75.3 + 1.5 \times (17.8 - 12.8) + 12.8 = 231.5 \ \mathrm{cm}
 147 \]
 148 
 149 よって光速度は $ c = \frac{L}{T} $ より、
 150 
 151 \[
 152 c = \frac{231.5 \times 10^{-2}}{7.9 \times 10^{-9}} = 293037974\cong 2.93 \times 10^8 \ \mathrm{m/s}
 153 \]
 154 
 155 光路差の不確かさを $\Delta L$、 パルスの時間間隔の不確かさを $\Delta T$ とすると、 光速度 $c$ の不確かさ $\Delta c$は次式で求められる。
 156 
 157 \[
 158 \Delta c = c \sqrt{(\frac{\Delta L}{L})^2 + (\frac{\Delta T}{T})^2}
 159 \]
 160 
 161 $\Delta L = 1.0 \ \mathrm{cm}$、 $\Delta T = 0.5 \ \mathrm{ns}$ として代入すると、
 162 
 163 \[
 164 \Delta c = 2.93 \times 10^8 \times \sqrt{(\frac{1.0}{231.5})^2 + (\frac{0.5}{7.90})^2} = 18587444.56 \cong 0.19 \times 10^8 \ \mathrm{m/s}
 165 \]
 166 
 167 したがって光速度は $c = (2.93 \pm 0.19) \times 10^8 \ \mathrm{m/s}$ と求められた。
 168 
 169 \subsection{同軸ケーブルを伝わる信号速度の測定}
 170 同軸ケーブルの長さと信号の遅延した時間の関係は以下のようになった。
 171 また、描いたグラフは末尾に添付した。
 172 \begin{table}[htb]
 173     \centering
 174     \caption{同軸ケーブルを伝わる信号速度の測定}
 175     \begin{tabular}{cc} \\
 176         \hline
 177         L /cm & $T$ /ns\\
 178         \hline
 179         154.2 & 15.8 \\
 180         154.3 & 15.8 \\
 181         505.1 & 51.4 \\
 182         597.9 & 60.8 \\
 183         896.9 & 91.1 \\
 184         990 & 99.8 \\
 185         1000 & 101.4 \\       
 186 \hline
 187     \end{tabular}
 188 \end{table}
 189 
 190 グラフの傾きから求めた信号速度$v$の値は
 191 \[
 192 \frac{896.9\times 10^{-2} \times 2}{91.1 \times 10^{-9}} = 196904500.54 ...　\cong 1.97 \times 10^8 \ \mathrm{m/s}
 193 \]
 194 グラフからでは測定値のばらつきを確認することができなかったため、不確かさを金尺やオシロスコープによるものとすると、
 195 同軸ケーブルを伝わる信号速度の不確かさ $\Delta v$ は次式で求められる。
 196 
 197 \[
 198 \Delta v = v \sqrt{(\frac{\Delta X}{L})^2 + (\frac{\Delta Y}{T})^2}
 199 \]
 200 
 201 $\Delta L = 0.1 \ \mathrm{cm}$、 $\Delta T = 0.1 \ \mathrm{ns}$ として代入すると、
 202 
 203 \[
 204 \Delta v = 1.97 \times 10^8 \times \sqrt{(\frac{0.1}{896.9})^2 + (\frac{0.1}{15.4})^2} = 1279409.33... \cong 0.013 \times 10^8 \ \mathrm{m/s}
 205 \]
 206 
 207 したがって同軸ケーブルを伝わる信号速度は $v = (1.97 \pm 0.01) \times 10^8 \ \mathrm{m/s}$ と求められた。
 208 
 209 \section{考察}
 210 
 211 \subsection{光速度の測定}
 212 
 213 真空中の光速度の文献値は $299792458 \ \mathrm{m/s}$ である。
 214 それに対して今回の測定によって得られた値は $(3.06 \pm 0.01) \times 10^8 \ \mathrm{m/s}$と$(2.93 \pm 0.19) \times 10^8 \ \mathrm{m/s}$であり、一回目の実験では一致していないが二回目では一致している。
 215 これは、プリズムとの距離が短ければ測定の誤差が減少するということや、あるいは光路差の誤差を少なく見積もったためだと考えられる。
 216 
 217 大気圧、 室温における空気の屈折率は $n = 1.00028$ であるが、 今回の実験において空気中であって真空中ではないことを
 218 問題にする必要はあるかについて考える。 今回の実験で得られた値は有効数字 3 桁であり、 空気の屈折率の有効数字 5桁以下を
 219 無視して n = 1.000 と近似して考えても問題はない。 すなわち今回の実験に限っては空気中と真空中の違いを考慮する必要はないと言って良い。
 220 
 221 \subsection{同軸ケーブルを伝わる信号速度の測定}
 222 
 223 今回の測定で得られた同軸ケーブルを伝わる信号速度の値は $v = (1.97 \pm 0.01) \times 10^8 \ \mathrm{m/s}$ であり
 224 光速度のおよそ 2/3 倍となっていることが確認できる。
 225 
 226 \section{参考文献}
 227 
 228 \begin{itemize}
 229     \item 理科年表（2019）
 230     \item 基礎科学実験A(物理学実験) 平成29年度版
 231 \end{itemize}
 232 \clearpage
 233 \begin{figure}[ptbh]
 234 \includegraphics[width=7.0cm]{Document_20191214_0001.jpg}
 235 \end{figure}
 236 \end{document}
 237 \end{document}