1 \documentclass[11pt,a4paper]{jsarticle}
   2 \usepackage{subfig}
   3 \begin{document}
   4 \pagestyle{empty}
   5 % \title{}
   6 % \author{}
   7 % \date{年月日}
   8 
   9 % \maketitle
  10 
  11 \section{目的}
  12 この実験課題ではクントの法則を用いて、気体中の音速、弾性棒を伝わる縦波の速さや弾性棒のヤング率を求め、実験結果について考察する。
  13 
  14 \section{原理}
  15 
  16 波の速さ $v$ と波長 $\lambda$、振動数 $f$ の間には、
  17 
  18 \begin{equation}
  19 v = f \lambda
  20 \end{equation}
  21 
  22 の関係が成り立つ.。
  23 ある振動数で気柱が共鳴したとすると,、気柱には定常波が生じる、 円管の場合の共鳴条件はモード番号を $j$、
  24 円管の直径を $d$ とすれば,
  25 
  26 \begin{equation}
  27 \lambda_j \cdot j = \pi d \ \ \ \ (j = 1, 2, 3, ...)
  28 \end{equation}
  29 
  30 (1)式を用いて式変形すると、
  31 
  32 \begin{equation}
  33 f_j = \frac{v}{\pi d} j
  34 \end{equation}
  35 
  36 ここで $f_j / j = a$ とおくと,、音速 $v$ は
  37 
  38 \begin{equation}
  39 v = \pi d a
  40 \end{equation}
  41 
  42 となる。
  43 
  44 なお、気体定数を$R$、気体1molの質量を$M$、気体の比熱比を$\gamma$とすると、絶対温度$T$と気体の音速$v$の間には次の関係が成り立つ。
  45 
  46 \begin{equation}
  47 v = \sqrt{\frac　{ \gamma R T}{M}　}
  48 \end{equation}
  49 
  50 事前に円管の中に軽い粉をまいておくと定常波の腹にある粉は激しく動いて縞模様(ridge)を作る。
  51 この模様の数から共鳴のモード番号を知ることができ、共鳴条件から定在波の波長を求めることができる。
  52 したがって、振動数が既知であれば(1)式から音速を求めることができる。
  53 
  54 伝統的なクントの実験では, 伝播管中の粉末の動きが最も激しいと思われるところを目視により決定し,
  55 共鳴振動数として採用する. 本実験では気体中の音速測定の際に、従来の方法に加えて共鳴曲線をプロットして共鳴振動数を決定する測定も行う。
  56 
  57 コルク粉を少量入れたガラス管に金属棒を差し込み棒をこすると、縦振動の定常波が立ち、鋭い音を発する。この時、(3)式が成立するようにガラス管を移動して気柱の長さを調整すれば共鳴してridgeが生じる。
  58 このようにして生じたridgeの間隔の平均値$ L_g $を求めれば気柱内の定常波の波長$ \lambda_g $は、
  59 
  60 \[
  61 \lambda_g = 2L_g
  62 \]
  63 
  64 から求めることができる。いま、空気中の音速$ v_g $が既知量であるとすれば、気柱の振動数$ f_g $は$ f_g - v_g / \lambda_g$から求められる。
  65 棒と気柱は共鳴しているのであるから棒の縦振動の振動数$ f_g $と気柱の振動数$ f_g $は一致していなければならない。そこでモード番号$i$での波長を$\lambda_mi$とすれば、縦振動の速さ$ v_m $は
  66 
  67 \begin{equation}
  68 v_m = \lambda_mi f_mi = \frac {v_g \lambda_mi}{2L_g}
  69 \end{equation}
  70 
  71 と表すことができる。
  72 棒の縦振動の波長$\lambda_mi$は棒の長さを$ l_m $とすれば、
  73 
  74 \[
  75 \frac { \lambda_mi}{2} (2i - 1) = l_m \ \ \ \ (i = 1, 2, 3, ...)
  76 \]
  77 
  78 のように表される。
  79 したがって、縦振動の速さ$ v_m $は
  80 
  81 
  82 \[
  83 v_m = \frac {v_g l_m}{(2i - 1) L_g}
  84 \]
  85 
  86 によって与えられる。また、棒素材のヤング率を$E$、密度を$\rho$とすれば$ v_m $との間に次式が成り立つ。
  87 
  88 \[
  89 v_m = \sqrt {\frac { E }{ \rho}}
  90 \]
  91 
  92 \section{実験方法}
  93 \subsection{円管による気体中の音速測定}
  94 \begin{itemize}
  95     \item 円管をできるだけ円に近づくようにして、金尺で直径を 5箇所測った。
  96     \item スピーカ直下にあるフタを外し, ゴ管中の気体を空気と置換した。
  97     \item 発振器の周波数を変え,、モード番号 $j = 1$ の共鳴をコルク粉の振動の様子から探した。
  98     最も激しく振動する周波数を $j = 1$ での共鳴振動数として記録した。
  99     \item $j = 2, 3, 4, 5$ についても同様にして共鳴振動数を測定した。
 100     \item  横軸にモード番号 $j$ を縦軸にそのときの共鳴振動数 $f_j$ をとったグラフを作成した。
 101 \end{itemize}
 102 
 103 次に円管内に取り付けたマイクからの信号をオシロスコープに表示させ, 各モードの共鳴振動数近辺
 104 で以下のような測定を行った.
 105 
 106 \begin{itemize}
 107     \item 先の実験で求めた j = 1 共鳴振動数近辺で発振器の周波数を変え、オシロスコープに表示された音波波形の山谷間電圧 $V_{pp}$ が最大となる周波数を探した。
 108     \item 上の周波数から周波数を変えていき、その都度周波数と電圧 $V_{pp}$ を記録した。
 109     \item 横軸を振動数、縦軸を電圧をとったグラフに得られた測定値をプロットし共鳴曲線を作成した。
 110     \item $j = 2, 3, 4, 5$ についても同様にして共鳴曲線を作成した。
 111     \item 共鳴曲線のピークから求めた共鳴振動数をもとに, 横軸にモード番号 $j$ を縦軸にそのときの共鳴振動数 $f_j$ をとったグラフを作成した。
 112 \end{itemize}
 113 
 114 \subsection{閉端直管による縦波の速さとヤング率の測定}
 115 
 116 
 117 
 118 \section{実験結果}
 119 円管の直径 $d$ の測定値は次のようになった。
 120 
 121 \begin{table}[htb]
 122     \centering
 123     \caption{円管の直径}
 124     \begin{tabular}{c} \\
 125         \hline
 126         $ d / \mathrm{mm}$  \\
 127         \hline
 128         585 \\
 129         590 \\
 130         594 \\
 131         592 \\
 132         580 \\
 133         \hline
 134     \end{tabular}
 135 \end{table}
 136 
 137 円管の直径 $d$ の測定値の平均を $\overline{d}$ とすると $\overline{d} = 590.2 \ \mathrm{mm}$
 138 
 139 ここで平均値 $\overline{d}$ の標準不確かさを $\Delta \overline{d}$ とすると、
 140 
 141 \[
 142 \Delta \overline{d} = \sqrt{\frac {1}{5(5-1)}\sum_{i=1}^5 (d_i - \overline{d})^2} = 7.52 \cong 2 \ \mathrm{mm}
 143 \]
 144 
 145 よって円管の直径は $d = (590 \pm 7) \ \mathrm{mm}$ と求められる。
 146 
 147 コルクの振動の目視により求めた共鳴振動数の測定値は次のようになった。
 148 
 149 ここで $j$ はモード番号、 $f_j$ はそのモード番号における共鳴振動数の値である。
 150 
 151 \begin{table}[htb]
 152     \centering
 153     \caption{目視により求めた共鳴振動数}
 154     \begin{tabular}{ccc} \\
 155         \hline
 156         $j$ & $f_j / \mathrm{Hz}$  \\
 157         \hline
 158         1 & 175.2 \\
 159         2 & 358.5 \\
 160         3 & 554.4 \\
 161         4 & 718.2 \\
 162         5 & 914.1 \\
 163         \hline
 164     \end{tabular}
 165 \end{table}
 166 
 167 目視により決定した共鳴振動数の値をもとに横軸にモード番号 $j$ を縦軸にそのときの共鳴振動数 $f_j$
 168 をとったグラフを作成し、そのグラフの傾きを $a$ としたとき,、その値は
 169 
 170 \[
 171 a = \frac{914}{5} = 182.8 \ \mathrm{Hz}
 172 \]
 173 
 174 となった. グラフの直線の式を $Y = aX$ とすると傾き $a$ の不確かさ $\Delta a$ はテキスト25ページの次式で求められる.
 175 
 176 \[
 177 \frac {\Delta a}{a} = \sqrt{(\frac {\delta Y}{Y_0})^2 + (\frac {\delta X}{X_0})^2} 
 178 \]
 179 
 180 $X_0$, $Y_0$, $\delta X$. $\delta Y$, はグラフより決定される値でそれぞれ
 181 $X_0 = 5$, $Y_0 = 914$, $\delta X = 0.04$, $\delta Y = 7.8$ となるので $ \Delta a $ は,
 182 
 183 \[
 184 \frac{\Delta a}{a} = \sqrt{(\frac {12.5}{935})^2 + (\frac {0.04}{5})^2} = 1.37 * 10^-4
 185 \]
 186 
 187 この計算より、$\Delta a = 0.125$
 188 よって $a = (182.8 \pm 0.1) \ \mathrm{Hz}$ となった。
 189 
 190 (4)式より空気中の音速は $v = \pi d a = 3.14 \times 590 \times 175 = 324369.44 \ \mathrm{mm/s}$
 191 
 192 音速の不確かさを  $\Delta v$ とするとその値は,
 193 
 194 \[
 195 \Delta v = v \sqrt{(\frac {\Delta a}{a})^2 + (\frac {\Delta d}{d})^2 }
 196 \]
 197 
 198 \[
 199 \Delta v =  324369.44 \times \sqrt{(\frac {0.12}{182})^2 + (\frac {7}{590})^2 } = 3854.384...  \ \mathrm{mm/s} \cong 3 \ \mathrm{m/s}
 200 \]
 201 
 202 したがってクントの実験から音速 $v$ は $v = (324 \pm 3) \ \mathrm{m/s}$ と求められる.
 203 
 204 
 205 \subsection{共鳴曲線による音速測定}
 206 
 207 各モードにおける共鳴振動数付近での周波数とマイクの電圧の測定値は次のようになった.
 208 
 209 \begin{table}[htb]
 210     \centering
 211     \caption{モード1の測定値}
 212     \begin{tabular}{ccc} \\
 213         \hline
 214         $f / \mathrm{Hz}$ $V / \mathrm{mV}$ \\
 215         \hline
 216        156.1 & 179.4 \\
 217        158.8 & 211.1 \\
 218        166.0 & 353.0 \\
 219        168.6 & 426.6 \\
 220        171.3 & 496.7 \\
 221        173.7 & 535.2 \\
 222        175.3 & 543.0 \\
 223        177.0 & 539.0 \\
 224        180.0 & 484.2 \\
 225        182.1 & 441.7 \\
 226        184.9 & 386.4 \\
 227        191.8 & 281.4 \\
 228        206.1 & 187.9 \\
 229         \hline
 230     \end{tabular}
 231 \end{table}
 232 
 233 \clearpage
 234 
 235 \begin{table}[htb]
 236     \centering
 237     \caption{モード2の測定値}
 238     \begin{tabular}{ccc} \\
 239         \hline
 240         $f / \mathrm{Hz}$ & $V / \mathrm{mV}$ \\
 241         \hline
 242         312.7 & 378.1 \\
 243         321.2 & 457.5 \\
 244         329.1 & 535.4 \\
 245         334.8 & 582.7 \\
 246         343.5 & 630.7 \\
 247         346.1 & 637.4 \\
 248         348.1 & 640.0 \\
 249         345.5 & 636.2 \\
 250         349.9 & 641.0 \\
 251         350.5 & 638.4 \\
 252         352.8 & 636.9 \\
 253         354.2 & 634.9 \\
 254         356.6 & 630.7 \\
 255         359.3 & 622.9 \\
 256         368,9 & 584.4 \\
 257         371.9 & 572.6 \\
 258         378.3 & 549.0 \\
 259         417.6 & 449.8 \\
 260         \hline
 261     \end{tabular}
 262 \end{table}
 263 
 264 \clearpage
 265 
 266 \begin{table}[htb]
 267     \centering
 268     \caption{モード3の測定値}
 269     \begin{tabular}{ccc} \\
 270         \hline
 271         $f / \mathrm{Hz}$ & $V / \mathrm{mV}$ \\
 272         \hline
 273         451.5 & 427.4 \\
 274         486.4 & 458.5 \\
 275         504.3 & 493.7 \\
 276         515.1 & 517.3 \\
 277         523.9 & 535.4 \\
 278         534.1 & 551.5 \\
 279         539.7 & 556.3 \\
 280         541.6 & 557.0 \\
 281         547.0 & 557.8 \\
 282         549.0 & 557.5 \\
 283         550.5 & 557.0 \\
 284         551.3 & 557.5 \\
 285         554.5 & 554.5 \\
 286         556.9 & 553.3 \\
 287         558.1 & 552.0 \\
 288         559.0 & 551.5 \\
 289         561.4 & 547.2 \\
 290         564.3 & 542.5 \\
 291         568.9 & 532.7 \\
 292         572.3 & 523.1 \\
 293         584.0 & 486.2 \\
 294         589.0 & 469.6 \\
 295         600.9 & 431.4 \\
 296         \hline
 297     \end{tabular}
 298 \end{table}
 299 
 300 
 301 \clearpage
 302 
 303 \begin{table}[htb]
 304     \centering
 305     \caption{モード4の測定値}
 306     \begin{tabular}{ccc} \\
 307         \hline
 308         $f / \mathrm{Hz}$ & $V / \mathrm{mV}$ \\
 309         \hline
 310         685.4 & 326.4 \\
 311         694.4 & 346.5 \\
 312         707.2 & 392.7 \\
 313         716.1 & 422.4 \\
 314         728.3 & 457.8 \\
 315         734.9 & 472.4 \\
 316         739.5 & 479.9 \\
 317         740.6 & 480.4 \\
 318         742.4 & 481.9 \\
 319         743.8 & 482.4 \\
 320         744.2 & 482.4 \\
 321         745.3 & 483.2 \\
 322         746.4 & 482.4 \\
 323         748.5 & 480.4 \\
 324         751.8 & 475.4 \\
 325         755.2 & 468.3 \\
 326         758.5 & 458.0 \\
 327         766.5 & 429.2 \\
 328         777.3 & 381.7 \\
 329         788.5 & 334.4 \\
 330         \hline
 331     \end{tabular}
 332 \end{table}
 333 
 334 \clearpage
 335 
 336 \begin{table}[htb]
 337     \centering
 338     \caption{モード5の測定値}
 339     \begin{tabular}{ccc} \\
 340         \hline
 341         $f / \mathrm{Hz}$ & $V / \mathrm{mV}$ \\
 342         \hline
 343         871.3 & 283.7 \\
 344         876.1 & 296.2 \\
 345         881.5 & 313.1 \\
 346         895.1 & 364.1 \\
 347         902.5 & 391.2 \\
 348         909.3 & 409.8 \\
 349         911.5 & 413.6 \\
 350         913.4 & 416.6 \\
 351         914.7 & 417.3 \\
 352         916.5 & 418.6 \\
 353         917.1 & 419.4 \\
 354         919.1 & 418.6 \\
 355         920.2 & 417.8 \\
 356         923.1 & 415.8 \\
 357         924.0 & 414.6 \\
 358         928.0 & 406.3 \\
 359         937.0 & 378.1 \\
 360         948.6 & 335.4 \\
 361         958.1 & 302.8 \\
 362         \hline
 363     \end{tabular}
 364 \end{table}
 365 
 366 共鳴曲線のピークから求めた共鳴振動数は次の表の通りとなった。
 367 
 368 \begin{table}[htb]
 369     \centering
 370     \caption{共鳴曲線のピークから求めた共鳴振動数}
 371     \begin{tabular}{ccc} \\
 372         \hline
 373         $j$ & $f_j / \mathrm{Hz}$  \\
 374         \hline
 375         1 & 175.3 \\
 376         2 & 349.9 \\
 377         3 & 550.5 \\
 378         4 & 744.2 \\
 379         5 & 917.1 \\
 380         \hline
 381     \end{tabular}
 382 \end{table}
 383 
 384 共鳴曲線により決定した共鳴振動数の値をもとに横軸にモード番号 $j$ を縦軸にそのときの共鳴振動数 $f_j$
 385 をとったグラフを作成し, そのグラフの傾きを $a$ としたとき, その値は
 386 
 387 \[
 388 a = \frac{917 - 0}{5-0} = 183.4 \ \mathrm{Hz}
 389 \]
 390 
 391 となった. グラフの直線の式を $Y = aX$ とすると傾き $a$ の不確かさ $\Delta a$ は次式で求められる.
 392 
 393 \[
 394 \frac{\Delta a}{a} = \sqrt{(\frac{\delta Y}{Y_0})^2 + (\frac{\delta X}{X_0})^2} 
 395 \]
 396 
 397 $X_0$, $Y_0$, $\delta X$. $\delta Y$, はグラフより決定される値でそれぞれ
 398 $X_0 = 5$, $Y_0 = 917$, $\delta X = 0.06$, $\delta Y = 10.4$ となるので $\Delta a$ は,
 399 
 400 \[
 401 \Delta a = 183.9 \times \sqrt{(\frac{10.4}{917})^2 + (\frac{0.06}{5})^2} = 3.0364... \cong 3 \ \mathrm{Hz}
 402 \]
 403 
 404 よって $a = (1.83 \pm 0.03) \times 10^2 \ \mathrm{Hz}$ と導かれる.
 405 
 406 (4)式より空気中の音速は $v = \pi d a = 3.14 \times 590 \times 175 = 324369.44 \ \mathrm{mm/s}$
 407 
 408 音速の不確かさを  $\Delta v$ とするとその値は,
 409 
 410 \[
 411 \Delta v = v \sqrt{(\frac {\Delta a}{a})^2 + (\frac{\Delta d}{d})^2 }
 412 \]
 413 
 414 \[
 415 \Delta v = 324369.44 \times \sqrt{(\frac {3.03}{183.9})^2 + \frac {7}{590})^2 } = 6585.85...  \ \mathrm{mm/s} \cong 6 \ \mathrm{m/s}
 416 \]
 417 
 418 したがって共鳴曲線から音速 $v$ は $v = (3.24 \pm 0.06) \times 10^2 \ \mathrm{m/s}$ と求められた。
 419 
 420 \subsection{金属棒}
 421 
 422 共鳴が観測された場所は、直管のコルクのないほうの端から以下の距離の場所だった。
 423 
 424 \begin{table}[htb]
 425     \centering
 426     \caption{金属棒1の時の共鳴した場所}
 427     \begin{tabular}{cc} \\
 428         \hline
 429         mm \\
 430         \hline
 431         87 \\
 432         208 \\
 433         349 \\
 434         485 \\
 435         619 \\
 436         767 \\
 437         890 \\
 438         1034 \\
 439     \end{tabular}
 440 \end{table}
 441 また、コルクの場所は1355mm、棒の長さは1177mm、同一材質の金属柱の長さは69.3mm、直径は12.45mm、質量は65.85gであった。
 442 計算より、この金属の密度は7.82である。
 443 
 444 、音の速さは$v$ は $v = 前の実験より(3.2 \pm 0.06) \times 10^2 \ \mathrm{m/s}$ と求められているので、
 445 計算より、ridgeの感覚の平均は134mmであったので、$ \lambda_g = 268mm$であり、$f_g = \frac{320}{0.268} = 1194[hz]$である。
 446 
 447 \begin{table}[htb]
 448     \centering
 449     \caption{金属棒2の時の共鳴した場所}
 450     \begin{tabular}{cc} \\
 451         \hline
 452         $j$ & $f_j / \mathrm{Hz}$  \\
 453         \hline
 454         181 \\
 455         272 \\
 456         377 \\
 457         485 \\
 458         594 \\
 459         705 \\
 460         803 \\
 461         908 \\
 462         1010 \\
 463         1116 \\
 464     \end{tabular}
 465 \end{table}
 466 また、コルクの位置は1297mm、同一材質の金属柱の長さは72.35mm、直径は11.88mm、質量は71.53gだった。
 467 計算より、この金属の密度は8.80である。
 468 
 469 音の速さは$v$ は $v = 前の実験より(3.2 \pm 0.06) \times 10^2 \ \mathrm{m/s}$ と求められているので、
 470 計算より、ridgeの感覚の平均は103mmであったので、$ \lambda_g = 268mm$であり、$f_g = \frac {320}{0.206} = 1553[hz]$であった。
 471 \section{考察}
 472 今回の実験を行った際の室内の気温は23.6度であったので、音速を計算で求めると345.7m/sであった。
 473 クントの実験から音速 $v$ は $v = (324 \pm 3) \ \mathrm{m/s}$ と求められ、.
 474 共鳴曲線から音速 $v$ は $v = (324 \pm 6)  \ \mathrm{m/s}$ と求められたことから考えると、だいぶ実際の値からは外れてしまっている。
 475 この誤差の原因として考えられることとしては、部屋に空調が利いていて温度計と実際の値に差があったこと、
 476 あるいはオシロスコープの数値が揺れ動いていたことによる誤差が多すぎたことが考えられる。
 477 
 478 \section{参考文献}
 479 
 480 \begin{itemize}
 481     \item 基礎科学実験A(物理学実験) 平成29年度版
 482     \item 理科年表 平成31年度版
 483 \end{itemize}
 484 
 485 \end{document}