\documentclass[11pt、a4paper]{jsarticle}
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\usepackage[dvipdfmx]{graphicx}
\begin{document}
\pagestyle{empty}
% \title{}
% \author{}
% \date{年月日}

% \maketitle

\section{目的}

ガイガー・ミューラー計数管を用いて、放射性原子が放射性崩壊する際に出る放射線を観測し、
放射性原子の放射性崩壊の法則と物質による放射性吸収について調べる。

\section{原理}

\subsection{ガイガー・ミューラー計数管}

ガイガー・ミューラー計数管(以下 GM計数管)とは高い電圧をかけた金属円筒の中に放射性粒子が1つ入ると放電が起こり
1個の電流パルスが生じることを利用してある時間内において放射性粒子がいくつ計数管を通過したかを
生じたパルス数を数えることで計測する装置である。

\subsection{放射性原子の崩壊}

原子核の中には不安定なものが存在する。 不安定な原子核は崩壊してより安定な原子核になる。
この際に α線(He の原子核)や β線(電子)や γ線(電磁波)を放出する。
この現象が放射性原子の崩壊である。

今回の実験の放射線源である \ce{_{55}^{137}Cs} (セシウム137) は次のように
電子 e$^-$ (β線) と中性子線(ニュートリノ) $\bar{\nu}_e$ を放出して
\ce{_{56}^{137}Ba} (バリウム137) に崩壊する。
\\

\begin{center}
\ce{_{55}^{137}Cs ->_{56}^{137}Ba + e^- + \bar{\nu}_e}
\end{center}

\section{実験方法}

\subsection{自然計数の測定}

近くに放射性源がなくても GM 計数管の計数値は 0 にならない。 これは宇宙線や身の回りに極微量存在する
天然の放射性原子からの放射線によるものである。 これを自然計数という。

以下のような手順でこの自然計数の値を測定した。

\begin{itemize}
    \item GM 計数管のスタンドに何も入れないで GM 計数管の電源を入れた。
    \item 電圧調整つまみを回して電圧指示計が 500 V を指すように調整した。
    \item カウンターの計数時間を 60s に設定した。
    \item 計数を20回繰り返した。
\end{itemize}

\subsection{β線の計数値の分布の観測}

β線源 (セシウム137) を一定時間の計数値の分布を以下のような手順で測定した。

\begin{itemize}
    \item β線源(セシウム137)を取り出し、 GM計数管スタンドの上から 60 mm の段に入れた。
    \item カウンターの計数時間を 1 s に切り替え、 100回計数値を測定した。
    \item 線源は同じ位置のまま300回計数値を測定した。
    \item 線源をGM計数管スタンドの同じ段のまま 300 回計数値を測定した。
    \item 線源をGM計数管スタンドの120mm、80mmの段に入れ、 300 回係数値を測定した。
\end{itemize}

\subsection{β線の吸収の測定}

GM計数管スタンドに放射線源を入れその上に金属板を載せることで計数値が金属板の厚みとともにどのように
変化するのかを以下のような手順で調べた。

\begin{itemize}
    \item GM計数管スタンドの上から 80 mm の位置に放射線源を入れ、上から 30 mm の段に穴の空いた板を入れた。
    \item カウンターの計数時間を 60s に設定した。
    \item 上の段に入れた板の穴を厚さ 1 mm の Al 板でふさぎ 1 min 間の計数値 $N^{\prime}$ を求めた。
    \item この測定を 5 回繰り返し、 平均値 $ \overline{N^{\prime}}$ を求めた。
    \item 1 mm の Ti 板を取り出し、 Ti の薄板を 0 枚から 1 枚ずつ入れて、 各枚数に対して計数値 $N$ を 3 回
              測定し、 $ \overline{N^{\prime}}$ を求めた。
    \item Ti の薄板の厚みをマイクロメーターで測定した。
    \item 同じ測定を Cu の薄板に対しても行った。
\end{itemize}

\section{結果}

\subsection{自然計数の測定}

自然計数の計数値と出現回数は次の表に示す通りとなった。

\begin{table}[htb]
    \centering
    \caption{自然計数の計数値と出現回数}
    \begin{tabular}{|c||cccccccccccc|}
        \hline
        計数値    & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 20 & 22 \\
        \hline
        出現回数 & 1 & 1 & 2 & 3 & 1 & 1 & 1 & 2 & 3 & 3 & 1 & 1 \\   
        \hline
    \end{tabular}
\end{table}

表1 にまとめた計数値の平均値を $N_0$ とすると $N_0 = 14.9$ となった。
また横軸に計数値 $N$、 縦軸に同じ計数値の出現回数 $n$ をとった棒グラフを作成し、 レポート末尾に添付した。

\clearpage

\subsection{β線の計数値の分布の観測}

総回数 100 回、 ゲート時間 1 秒、 線源の位置 60 mm としたときの測定結果は次の表のようになった。

\begin{table}[htb]
    \centering
    \caption{セシウム137の計数値の分布の実験データ}
    \begin{tabular}{cccccc} \\
        \hline
        計数値 & 出現回数 & 出現確率 & 計数値と $n_N$ の積 & 2乗偏差と$n_N$ の積 & ポアッソン分布 \\
        $N$    & $n_N$    & $n_N/\sum n_N$& $n_N N$     & $n_N (N-\overline{N})^2$ & $P(N)$ \\
        \hline
        10 & 2 & 0.017 & 20 & 203.19 & 0.005588 \\
        11 & 1 & 0.008 & 11 & 82.43 & 0.010201 \\
        12 & 1 & 0.008 & 12 & 65.28 & 0.017070 \\
        13 & 1 & 0.008 & 13 & 50.12 & 0.026367 \\
        14 & 4 & 0.035 & 56 & 147.84 & 0.037817 \\
        15 & 3 & 0.026 & 45 & 77.40 & 0.050624 \\
        16 & 10 & 0.088 & 160 & 166.43 & 0.063532 \\
        17 & 6 & 0.053 & 102 & 56.90 & 0.075042 \\
        18 & 14 & 0.123 & 252 & 60.54 & 0.083712 \\
        19 & 13 & 0.115 & 247 & 15.15 & 0.088468 \\
        20 & 11 & 0.097 & 220& 0.06 & 0.084928 \\
        21 & 8 & 0.070 & 168 & 6.88 & 0.084298 \\
        22 & 10 & 0.088 & 220 & 36.87 & 0.077515 \\
        23 & 9 & 0.079 & 207 & 76.75 & 0.067672 \\
        24 & 5 & 0.044 & 120 & 76.84 & 0.056618 \\
        25 & 3 & 0.026 & 75 & 72.62 & 0.045475 \\
        26 & 3 & 0.026 & 78 & 105.15 & 0.035120 \\
        27 & 3 & 0.026 & 81 & 143.67 & 0.026118 \\
        28 & 2 & 0.017 & 56 & 125.46 & 0.018730 \\
        29 & 0 & 0.000 & 0 & 0 & 0.012969 \\
        30 & 2 & 0.017 & 60 & 196.82 & 0.008680 \\
        31 & 0 & 0.000 & 0 & 0 & 0.005622 \\
        32 & 0 & 0.000 & 0 & 0 & 0.003528 \\
        33 & 2 & 0.017 & 66 & 333.87 & 0.002146 \\
        \hline
        合計 & 113 & 1 & 2269 & 2100.28 & 0.99237 \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{table}

計数値の平均値 $\overline{N}$ は $\overline{N} = 20.79$、 標準偏差$\sigma$ は $ \sigma = 4.33$ となった。

横軸に計数値 $N$、 縦軸に計数値 $N$ の出現確率 $n_N / \sum n_N $ をとって棒グラフに合わしたものをレポート末尾に添付した。
またポアッソン分布から各係数値 $N$ に対する確率 $P(N)$ を計算し、 その値を棒グラフに大きめのバツ印で書き込んだ。

\clearpage

総回数 300 回、 ゲート時間 1 秒、 線源の位置 60 mm としたときの測定結果は次の表のようになった。

\begin{table}[htb]
    \centering
    \caption{セシウム137の計数値の分布の実験データ2}
    \begin{tabular}{cccccc} \\
        \hline
        計数値 & 出現回数 & 出現確率 & 計数値と $n_N$ の積 & 2乗偏差と$n_N$ の積 & ポアッソン分布 \\
        $N$    & $n_N$    & $n_N/\sum n_N$& $n_N N$     & $n_N (N-\overline{N})^2$ & $P(N)$ \\
        \hline
        8 & 1 &0.003 & 8 & 147.62 & 0.001195 \\
        9 & 1 & 0.003 & 9 & 124.32 & 0.002677 \\
        10 & 1 & 0.003 & 10 & 103.02 & 0.005394 \\
        11 & 0 & 0.000 & 0 & 0 & 0.009881 \\
        12 & 1 & 0.003 & 12 & 66.42 & 0.016593 \\
        13 & 9 & 0.030 & 117 & 460.10 & 0.025719 \\
        14 & 16 & 0.053 & 224 & 605.10 & 0.037017 \\
        15 & 11 & 0.036 & 165 & 291.74 & 0.049727 \\
        16 & 13 & 0.043 & 208 & 223.89 & 0.062624 \\
        17 & 20 & 0.066 & 340 & 198.45 & 0.074228 \\
        18 & 41 & 0.136 & 738 & 189.52 & 0.083095 \\
        19 & 28 & 0.093 & 532 & 37.03 & 0.088124 \\
        20 & 30 & 0.100 & 600 & 0.67 & 0.088785 \\
        21 & 22 & 0.073 & 462 & 15.89 & 0.085191 \\
        22 & 29 & 0.096 & 638 & 99.25 & 0.078028 \\
        23 & 14 & 0.046 & 322 & 113.71 & 0.068359 \\
        24 & 18 & 0.060 & 432 & 266.80 & 0.057393 \\
        25 & 13 & 0.043 & 325 & 305.79 & 0.046259 \\
        26 & 5 & 0.016 & 130 & 171.11 & 0.035850 \\
        27 & 7 & 0.023 & 189 & 328.45 & 0.026755 \\
        28 & 9 & 0.030 & 252 & 554.60 & 0.019254 \\
        29 & 3 & 0.010 & 87 & 234.96 & 0.013378 \\
        30 & 3 & 0.010 & 90 & 291.06 & 0.008985 \\
        31 & 5 & 0.016 & 155 & 588.61 & 0.005840 \\
        32 & 0 & 0.000 & 0 & 0 & 0.003677 \\
        33 & 0 & 0.000 & 0 & 0 & 0.002245 \\
        \hline
        合計 & 300 & 1 & 6045 & 5418.25 & 0.99628 \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{table}

計数値の平均値 $\overline{N}$ は $\overline{N} = 20.15$、 標準偏差$\sigma$ は $ \sigma = 4.25$ となった。

横軸に計数値 $N$、 縦軸に計数値 $N$ の出現確率 $n_N / \sum n_N $ をとって棒グラフに合わしたものをレポート末尾に添付した。
またポアッソン分布から各係数値 $N$ に対する確率 $P(N)$ を計算し、 その値を棒グラフに大きめのバツ印で書き込んだ。

\clearpage

総回数 300 回、 ゲート時間 1 秒、 線源の位置 120 mm としたときの測定結果は次の表のようになった。

\begin{table}[htb]
    \centering
    \caption{セシウム137の計数値の分布の実験データ3}
    \begin{tabular}{cccccc} \\
        \hline
        計数値 & 出現回数 & 出現確率 & 計数値と $n_N$ の積 & 2乗偏差と$n_N$ の積 & ポアッソン分布 \\
        $N$    & $n_N$    & $n_N/\sum n_N$& $n_N N$     & $n_N (N-\overline{N})^2$ & $P(N)$ \\
        \hline
        0 & 2 & 0.006 & 0 & 46.92 & 0.007876 \\
        1 & 16 & 0.051 & 16 & 236.40 & 0.038153 \\
        2 & 28 & 0.093 & 56 & 226.45 & 0.092404 \\
        3 & 42 & 0.139 & 126 & 142.79 & 0.149197 \\
        4 & 52 & 0.172 & 208 & 37.02 & 0.180673 \\
        5 & 51 & 0.169 & 255 & 1.24 & 0.175030 \\
        6 & 46 & 0.152 & 276 & 61.48 & 0.141304 \\
        7 & 22 & 0.073 & 154 & 102.27 & 0.097779 \\
        8 & 21 & 0.069 & 168 & 209.18 & 0.059203 \\
        9 & 14 & 0.046 & 126 & 241.82 & 0.031863 \\
        10 & 5 & 0.016 & 50 & 132.92 & 0.015434 \\
        11 & 1 & 0.003 & 11 & 37.89 & 0.006796 \\
        12 & 1 & 0.003 & 12 & 51.21 & 0.002743 \\
        13 & 0 & 0.000 & 0 & 0 & 0.001022 \\
        \hline
        合計 & 301 & 1 & 1458 & 1527.66 & 0.9994 \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{table}

計数値の平均値 $\overline{N}$ は $\overline{N} = 4.84$、 標準偏差$\sigma$ は $ \sigma = 2.25$ となった。

横軸に計数値 $N$、 縦軸に計数値 $N$ の出現確率 $n_N / \sum n_N $ をとって棒グラフに合わしたものをレポート末尾に添付した。
またポアッソン分布から各係数値 $N$ に対する確率 $P(N)$ を計算し、 その値を棒グラフに大きめのバツ印で書き込んだ。

\clearpage

総回数 300 回、 ゲート時間 1 秒、 線源の位置 80 mm としたときの測定結果は次の表のようになった。

\begin{table}[htb]
    \centering
    \caption{セシウム137の計数値の分布の実験データ4}
    \begin{tabular}{cccccc} \\
        \hline
        計数値 & 出現回数 & 出現確率 & 計数値と $n_N$ の積 & 2乗偏差と$n_N$ の積 & ポアッソン分布 \\
        $N$    & $n_N$    & $n_N/\sum n_N$& $n_N N$     & $n_N (N-\overline{N})^2$ & $P(N)$ \\
        \hline
	3 & 4 & 0.012 & 12 & 295.39 & 0.002395 \\
	4 & 4 & 0.012& 16 & 230.64 & 0.006944 \\
	5 & 6 & 0.019 & 30 & 260.84 & 0.01610 \\
	6 & 12 & 0.038 & 72 & 375.45 & 0.031113 \\
	7 & 16 & 0.051 & 112 & 337.61 & 0.051531 \\
	8 & 18 & 0.058 & 144 & 232.44 & 0.0746786 \\
	9 & 34 & 0.109 & 306 & 228.70 & 0.096198 \\
	10 & 36 & 0.116 & 360 & 91.41 & 0.111528 \\
	11 & 36 & 0.116 & 396 & 12.68 & 0.117546 \\
	12 & 24 & 0.077 & 288 & 3.96 & 0.113565 \\
	13 & 32 & 0.103 & 416 & 63.29 & 0.101278 \\
	14 & 25 & 0.080 & 350 & 144.77 & 0.083870 \\	
	15 & 20 & 0.064 & 300 & 232.07 & 0.064823 \\
	16 & 13 & 0.041 & 208 & 252.41 & 0.046970 \\
	17 & 7 & 0.022 & 119 & 204.60 & 0.032032 \\
	18 & 6 & 0.019 & 108 & 246.25& 0.020631 \\
	19 & 3 & 0.009 & 57 & 164.56 & 0.012589 \\
	20 & 3 & 0.009 & 60 & 212.00 & 0.007297 \\
	21 & 2 & 0.006 & 42 & 176.96 & 0.004028 \\
	22 & 9 & 0.029 & 198 & 974.64 & 0.002123 \\
        \hline
        合計 & 310 & 1 & 3594 & 4740.78 & 0.9978 \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{table}

計数値の平均値 $\overline{N}$ は $\overline{N} = 11.59$、 標準偏差$\sigma$ は $ \sigma = 3.19$ となった。

横軸に計数値 $N$、 縦軸に計数値 $N$ の出現確率 $n_N / \sum n_N $ をとって棒グラフに合わしたものをレポート末尾に添付した。
またポアッソン分布から各係数値 $N$ に対する確率 $P(N)$ を計算し、 その値を棒グラフに大きめのバツ印で書き込んだ。

\subsection{β線の吸収の測定}

1 mm の Al 板により $\beta$ 線を遮断したときの計数値 $N^{\prime}$ の平均値 $\overline{N^{\prime}} $は

\[\overline{N^{\prime}} = (129 + 136 + 120 + 155 + 144) / 5 = 136.8 \]

となった。 $N^{\prime}$ は 自然計数 $N_0$ と 計数値 $N_\gamma$ の和である。

\subsubsection{Ti による $\beta$ 線の吸収}

Ti の薄板 1 枚の厚さの平均値 $\overline{d_a}$ は、 $0.20 \ \mathrm{mm}$であった。


$\beta$ 線の計数値の平均値 $\overline{N}_\beta$ は $\overline{N}_\beta = \overline{N} - \overline{N^{\prime}}$ として求めた。

また $\overline{N}_\beta$ の標準偏差 $\sigma_\beta$ は次式から求めた。 $n$ は各測定の繰り返し回数である。

\[ \sigma_\beta = \sqrt{ \frac{\overline{N} + \overline{N^{\prime}}}{n} } \]

Ti の薄板を 1 枚ずつ入れて各枚数に対して計数値 $N$ を測定した結果を次の表にまとめた。

試料金属 : Ti、 $\beta$ 線源の位置 : 80 mm、 金属板の位置 : 30 mm

測定回数 : 3 回、 $\beta$ 線を遮断したときの計数値 : 136.8

\begin{table}[htb]
    \centering
    \caption{Ti による $\beta$ 線の吸収の実験データ}
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
        \hline
        枚数 & 厚さ  & 1分間の計数値 & 平均値 & $ \beta$ 線計数値 & $ \beta$ 線計数値の対数 & 標準偏差 \\
        & /mm & $N$ &  $\overline{N}$ & $\overline{N}_\beta$ & $\log_{10} \overline{N}_\beta$& $\sigma_\beta$\\
        \hline
	1 & 0.20 & 449、482、481 & 470.6 & 333.86 &2.5235 & 14.229  \\
	2 & 0.40 &388、499、392 & 426.3 & 289.53 & 2.4616& 13.700 \\
	3 & 0.60 &343、356、317 & 338.6 & 201.86 & 2.3050 & 12.589 \\
	4 & 0.80 &288、296、289 & 291 & 154.2 & 2.1880& 2.188   \\
	5 & 1.00 &261、242、249 & 250.6 & 113.86 & 2.0563 & 11.364 \\
	6 & 1,20 &213、227、267 & 235.6 & 98.86 & 1.9950 & 11.142  \\
	\hline
    \end{tabular}
\end{table}

グラフの横軸にチタン板の厚さ $x$ を、 縦軸に計数値の対数 $\overline{N_\beta}$ をとりグラフを作成しレポート末尾に添付した。
グラフの傾きからチタンの線吸収係数 $\mu$ を求めるとその値は

\[ \mu = - \frac{2.4616 - 2.4150}{1.00} = 0.5285 \ \mathrm{mm^{-1} }\cong 52.9 \ \mathrm{cm^{-1}} \]

またグラフから決定される定数 $\delta X = 0.0881 \times \ \mathrm{mm}、 \delta Y = 0.00466 $を用いてチタンの線吸収係数 $\mu$ の不確かさ $\Delta \mu$ は以下のように求められる

\[ 
\Delta \mu = 0.5285 \times \sqrt{ (\frac{0.0881}{1})^2 +(\frac{0.00466}{0.5285})^2 } = 0.04679..  \cong 0.047 \ \mathrm{mm^{-1}}  = 4.7 \ \mathrm{cm^{-1}}
\]
質量吸収係数は線吸収係数 $\mu$ を密度 $\rho$ で割ることで得られる。 チタンの質量吸収係数を $\mu_m$ とするとその値は

\[ \mu_m = \frac{52.9 \pm 4.7}{4.507} = 11.7 \pm 1.0 \ \mathrm{cm^2/g} \]

と計算できた。

\subsubsection{Cu による $\beta$ 線の吸収}

Cu の薄板 1 枚の厚さの平均値 $\overline{d_c}$ は、 $0.31 \ \mathrm{mm}$であった。

Cu の薄板を 1 枚ずつ入れて各枚数に対して計数値 $N$ を測定した結果を次の表にまとめた。

試料金属 : Cu、 $\beta$ 線源の位置 : 80 mm、 金属板の位置 : 30 mm

測定回数 : 3 回、 $\beta$ 線を遮断したときの計数値 : 136.8

\begin{table}[htb]
    \centering
    \caption{Cu による $\beta$ 線の吸収の実験データ}
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
        \hline
        枚数 & 厚さ  & 1分間の計数値 & 平均値 & $ \beta$ 線計数値& $\beta$ 線計数値の対数 & 標準偏差 \\
        & /mm & $N$ &  $\overline{N}$ & $\overline{N}_\beta$ & $\log_{10} \overline{N}_\beta$& $\sigma_\beta$\\
        \hline
	1 &0.31& 309、315、326 & 316.6 & 179.86& 2.2549 & 12.294 \\
	2 &0.62& 230、230、198 & 219.3 & 82.53 & 1.9166 &10.895 \\
	3 &0.93& 177、157、175 & 169.67 & 32.86 & 1.5167& 10.107 \\
	4 &1.24& 160、175、160 & 165 & 28.2 & 1.45024 & 10.029 \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{table}

グラフの横軸に銅板の厚さ $x$ を、 縦軸に計数値 $\overline{N_\beta}$ をとりグラフを作成しレポート末尾に添付した。
グラフの傾きから銅の線吸収係数 $\mu$ を求めるとその値は

\[ \mu = - \frac{2.2549 - 1.4502}{0.93} = 0.8652... \ \mathrm{mm^{-1} }\cong 86.5 \ \mathrm{cm^{-1}} \]

またグラフから決定される定数 $\delta X = 0.0617 \times \ \mathrm{mm}、 \delta Y = 0.0534 $を用いて銅の線吸収係数 $\mu$ の不確かさ $\Delta \mu$ は以下のように求められる

\[ 
\Delta \mu = 0.8652 \times \sqrt{ (\frac{0.0617}{0.93})^2 +(\frac{0.0534}{0.8047})^2 } = 0.08118..  \cong 0.0812 \ \mathrm{mm^{-1}}  = 8.12 \ \mathrm{cm^{-1}}
\]

銅の質量吸収係数を $\mu_m$ とするとその値は

\[ \mu_m = \frac{86.5 \pm 8.12}{8.96} = 9.65 \pm 0.90 \ \mathrm{cm^2/g} \]

と計算できた。

\section{考察}

\subsection{自然計数の測定}

実験結果から放射線源が近くになくてっも天然には微量の放射線が存在することが分かった。
ただ、線源の保管場所が壁を隔てた案外近い場所にあったので、それも少なからず影響していると思う。

\subsection{β線の計数値の分布の観測}

総回数 100 回 と 300 回の 3 つの測定データにおける計数値の平均の平方根と標準偏差の差は300回のもののほうが小さい値であった。このことより、回数を重ねることで測定の精度が改善されているといえる。
得られた測定データにおける各計数値の出現確率はポアッソン分布に近いものとなっていた。
しかし、それでもなお外れ値や飛んだ値が存在していた。

\subsection{β線の吸収の測定}

測定によって得られた質量吸収係数 $\mu_m$の値は、 チタンでは $\mu_m = 11.7 \pm 1.0 \ \mathrm{cm^2/g}$、
銅では $\mu_m$の値は、$\mu_m = 9.65 \pm 0.90 \ \mathrm{cm^2/g} $ であり、
チタンのほうが大きな値であった。

\section{参考文献}
\begin{itemize}
    \item 基礎科学実験A (物理学実験) 平成29年度版
\end{itemize}

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\end{document}
