\documentclass[11pt,a4paper]{jsarticle}
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\begin{document}
\pagestyle{empty}
% \title{}
% \author{}
% \date{年月日}

% \maketitle

\section{目的}

導電性のカーボン紙を利用することで電位を直接観測することにより, 等電位線と電気力線を実際に書き、 
無限に広い平面上での理論と実験結果を比較すことにより、.等電位線と電気力線の間にどのような関係があるのか考察する。

\section{原理}

伝導性のあるカーボン紙に電極を塗布して、カーボン紙上の等電位点をたどることで等電位線を描く。
実際に観測しているのは、カーボン紙上に生じる定常電流の場における等電位線と電流線である。

いくつかの簡単な場合においては定常電流の静電場における等電位と電気力線は簡単な式で表される。

無限に広い導電性平面上に, 距離 $D$ を隔てて 半径 $R$ の 2 つの円形電極がある場合を考える。
ただし円形電極の半径 $R$ は $D$ に比べて十分に小さいものとする. ($R << D$)
電極の一方の電位を 0、他方の電位を $V_0$ とする、 このとき電位 0 の電極の中心から距離 $r$電位 $V_0$
の電極の中心から距離 $r^{\prime}$ の点 P における電位 $V$ は次式で与えられる。

\begin{equation}
V= \frac{V_0}{2} \frac{ \log{(\frac{R}{D} \cdot \frac{r^{\prime}}{r}} )} {\log{(\frac{R}{D})}}
\end{equation}

これを $r^{\prime} / r$ に関して解くと,

\begin{equation}
\frac{r^{\prime}}{r} = (\frac{R}{D})^{\frac{2V}{V_0} - 1}
\end{equation}

となる.

したがって, 等電位線は $r^{\prime} / r = const $ を満たす曲線, すなわちアポロニウスの円となる.

\section{実験方法}
\subsection{実験1}
以下のような手順で実験を行った。

\begin{itemize}
    \item カーボン紙の中央付近に距離 $D = 18 \ \mathrm{cm}$ を隔てた半径
     $r = 2.0 \ \mathrm{cm}$、幅 $5 \ \mathrm{mm}$ 
     の 2 つの円形電極を塗布した。このとき導電性塗料は銀ペーストを用いた。
    \item 直流電源の正極の一方の電極に、負極を他方の電極に接続した。
    \item 電極上が等電位であることを確認した。
    \item 0.5 V 間隔で等電位の点をプロットしていき等電位線を描いた。
    \item (2)式に $V$ の値を代入し $r^\prime / r$ の値を求めた。
    \item 両電極の中心A, B の間を $1:r^\prime / r$ に内分する点 C と外分する D を求めた。
    \item CDを直径とする円を描いた。
\end{itemize}

\subsection{実験2}
以下のような手順で実験を行った。

\begin{itemize}
	\item カーボン紙の上下端に幅 $5 \ \mathrm[mm]$ の電極を、中央に半径 $r = 2.0 \ \mathrm{cm}$、
	幅 $5 \ \mathrm{mm}$ の円形導体を塗布した。
	\item 直流電源の正極の一方の電極に、負極を他方の電極に接続した。
	\item 電極上が等電位であることを確認した。
	\item 0.5 V 間隔で等電位の点をプロットしていき等電位線を描いた。
	\item YY軸上の$V$の実測値を測った。
	\item (4)式、(12)式に従い、等電位線を描いた。
	\item YY軸上の$V$の計算値を求めた。
\end{itemize}
	
\section{結果}
\subsection{実験1}
実験によって得られた数値は以下のようになった。
表記している座標は両極の中心を A, Bとしたとき直線 AB を x 軸とし、
Aを原点にとったときのものである。

$V_0 = 6.0 \ \mathrm{V}$, $ D = 18.0 \ \mathrm{cm}$.

\begin{table}[htb]
    \centering
    \caption{}
    \begin{tabular}{cccccc}
    \hline
    電位 V / $V$ & $\frac{r^\prime}{r}$ & 内分点 & 外分点 & 円の中心 & 円の半径 \\
    \hline
	3.0 & 1.00 & (9.00, 0) & ($\infty$ , 0)& $\infty$ & $\infty$ \\
	2.5 & 0.6934  &(7.35, 0) & (-40.72, 0) & (-16.68, 0) & 24.05 \\
	2.0 & 0.4807  &(5.83, 0) & (-16.66, 0) & (-5.43, 0) & 11.23 \\
	1.5 & 0.3333  &(4.50, 0) & (-9.00, 0) & (-2.25, 0) & 6.75 \\
	1.0 & 0.2311  &(3.38, 0) & (-5.41, 0) & (-1.02., 0) & 4.39 \\
	0.5 & 0.1602  &(2.48, 0) & (-3.43, 0) & (-0.47, 0) & 2.95 \\
    \hline
    \end{tabular}
\end{table}
\subsection{実験2}
課題3のグラフは以下のようになった。

\begin{figure}[h]
  \centering
  \includegraphics[width=5cm]{image.bmp}
\end{figure}

課題4のグラフは末尾に添付した。

\section{考察}
まず実験1であるが、引いた線は中央付近では確かに近い感じであるが、端の方では大きく外れている。
これは紙の端の方では電場が一様でなくなっており、そのためにずれが生じていると考えられる。
なお表には書いていないが$V = 3.5$の時の$\frac{r^\prime}{r}$の値は、$V = 2.5$の時の$\frac{r^\prime}{r}$の逆数であり、
同様にして$V = 4$、$V = 4.5$、、、について考えると、描かれる曲線は左右で対象になっていると考えられる。
またカーボン紙は一様な電場を発生させていると考えられるので、今回の等電位線は左右対称になっていると考えられる。
なお、$V = 2.5$の曲線はコンパスの長さが足りずひけなかった。

次に実験2であるが、今回グラフを引けなかった中心付近では、複数の等電位線がそこにひかれていた。
しかし、あまりにも密集していたうえに、$V = 6.0$から$V = 0.0$までの線がそこにひかれていたため、どのように解釈していいのかまるで分らなかった。

\section{参考文献}

\begin{itemize}
    \item 基礎科学実験A(物理学実験) 平成29年度版
\end{itemize}

\end{document}
