\documentclass[11pt,a4paper]{jsarticle}
\usepackage{subfig}
\begin{document}
\pagestyle{empty}
% \title{}
% \author{}
% \date{年月日}

% \maketitle

\section{目的}
この実験課題ではクントの法則を用いて、気体中の音速、弾性棒を伝わる縦波の速さや弾性棒のヤング率を求め、実験結果について考察する。

\section{原理}

波の速さ $v$ と波長 $\lambda$、振動数 $f$ の間には、

\begin{equation}
v = f \lambda
\end{equation}

の関係が成り立つ.。
ある振動数で気柱が共鳴したとすると,、気柱には定常波が生じる、 円管の場合の共鳴条件はモード番号を $j$、
円管の直径を $d$ とすれば,

\begin{equation}
\lambda_j \cdot j = \pi d \ \ \ \ (j = 1, 2, 3, ...)
\end{equation}

(1)式を用いて式変形すると、

\begin{equation}
f_j = \frac{v}{\pi d} j
\end{equation}

ここで $f_j / j = a$ とおくと,、音速 $v$ は

\begin{equation}
v = \pi d a
\end{equation}

となる。

なお、気体定数を$R$、気体1molの質量を$M$、気体の比熱比を$\gamma$とすると、絶対温度$T$と気体の音速$v$の間には次の関係が成り立つ。

\begin{equation}
v = \sqrt{\frac　{ \gamma R T}{M}　}
\end{equation}

事前に円管の中に軽い粉をまいておくと定常波の腹にある粉は激しく動いて縞模様(ridge)を作る。
この模様の数から共鳴のモード番号を知ることができ、共鳴条件から定在波の波長を求めることができる。
したがって、振動数が既知であれば(1)式から音速を求めることができる。

伝統的なクントの実験では, 伝播管中の粉末の動きが最も激しいと思われるところを目視により決定し,
共鳴振動数として採用する. 本実験では気体中の音速測定の際に、従来の方法に加えて共鳴曲線をプロットして共鳴振動数を決定する測定も行う。

コルク粉を少量入れたガラス管に金属棒を差し込み棒をこすると、縦振動の定常波が立ち、鋭い音を発する。この時、(3)式が成立するようにガラス管を移動して気柱の長さを調整すれば共鳴してridgeが生じる。
このようにして生じたridgeの間隔の平均値$ L_g $を求めれば気柱内の定常波の波長$ \lambda_g $は、

\[
\lambda_g = 2L_g
\]

から求めることができる。いま、空気中の音速$ v_g $が既知量であるとすれば、気柱の振動数$ f_g $は$ f_g - v_g / \lambda_g$から求められる。
棒と気柱は共鳴しているのであるから棒の縦振動の振動数$ f_g $と気柱の振動数$ f_g $は一致していなければならない。そこでモード番号$i$での波長を$\lambda_mi$とすれば、縦振動の速さ$ v_m $は

\begin{equation}
v_m = \lambda_mi f_mi = \frac {v_g \lambda_mi}{2L_g}
\end{equation}

と表すことができる。
棒の縦振動の波長$\lambda_mi$は棒の長さを$ l_m $とすれば、

\[
\frac { \lambda_mi}{2} (2i - 1) = l_m \ \ \ \ (i = 1, 2, 3, ...)
\]

のように表される。
したがって、縦振動の速さ$ v_m $は


\[
v_m = \frac {v_g l_m}{(2i - 1) L_g}
\]

によって与えられる。また、棒素材のヤング率を$E$、密度を$\rho$とすれば$ v_m $との間に次式が成り立つ。

\[
v_m = \sqrt {\frac { E }{ \rho}}
\]

\section{実験方法}
\subsection{円管による気体中の音速測定}
\begin{itemize}
    \item 円管をできるだけ円に近づくようにして、金尺で直径を 5箇所測った。
    \item スピーカ直下にあるフタを外し, ゴ管中の気体を空気と置換した。
    \item 発振器の周波数を変え,、モード番号 $j = 1$ の共鳴をコルク粉の振動の様子から探した。
    最も激しく振動する周波数を $j = 1$ での共鳴振動数として記録した。
    \item $j = 2, 3, 4, 5$ についても同様にして共鳴振動数を測定した。
    \item  横軸にモード番号 $j$ を縦軸にそのときの共鳴振動数 $f_j$ をとったグラフを作成した。
\end{itemize}

次に円管内に取り付けたマイクからの信号をオシロスコープに表示させ, 各モードの共鳴振動数近辺
で以下のような測定を行った.

\begin{itemize}
    \item 先の実験で求めた j = 1 共鳴振動数近辺で発振器の周波数を変え、オシロスコープに表示された音波波形の山谷間電圧 $V_{pp}$ が最大となる周波数を探した。
    \item 上の周波数から周波数を変えていき、その都度周波数と電圧 $V_{pp}$ を記録した。
    \item 横軸を振動数、縦軸を電圧をとったグラフに得られた測定値をプロットし共鳴曲線を作成した。
    \item $j = 2, 3, 4, 5$ についても同様にして共鳴曲線を作成した。
    \item 共鳴曲線のピークから求めた共鳴振動数をもとに, 横軸にモード番号 $j$ を縦軸にそのときの共鳴振動数 $f_j$ をとったグラフを作成した。
\end{itemize}

\subsection{閉端直管による縦波の速さとヤング率の測定}



\section{実験結果}
円管の直径 $d$ の測定値は次のようになった。

\begin{table}[htb]
    \centering
    \caption{円管の直径}
    \begin{tabular}{c} \\
        \hline
        $ d / \mathrm{mm}$  \\
        \hline
        585 \\
        590 \\
        594 \\
        592 \\
        580 \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{table}

円管の直径 $d$ の測定値の平均を $\overline{d}$ とすると $\overline{d} = 590.2 \ \mathrm{mm}$

ここで平均値 $\overline{d}$ の標準不確かさを $\Delta \overline{d}$ とすると、

\[
\Delta \overline{d} = \sqrt{\frac {1}{5(5-1)}\sum_{i=1}^5 (d_i - \overline{d})^2} = 7.52 \cong 2 \ \mathrm{mm}
\]

よって円管の直径は $d = (590 \pm 7) \ \mathrm{mm}$ と求められる。

コルクの振動の目視により求めた共鳴振動数の測定値は次のようになった。

ここで $j$ はモード番号、 $f_j$ はそのモード番号における共鳴振動数の値である。

\begin{table}[htb]
    \centering
    \caption{目視により求めた共鳴振動数}
    \begin{tabular}{ccc} \\
        \hline
        $j$ & $f_j / \mathrm{Hz}$  \\
        \hline
        1 & 175.2 \\
        2 & 358.5 \\
        3 & 554.4 \\
        4 & 718.2 \\
        5 & 914.1 \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{table}

目視により決定した共鳴振動数の値をもとに横軸にモード番号 $j$ を縦軸にそのときの共鳴振動数 $f_j$
をとったグラフを作成し、そのグラフの傾きを $a$ としたとき,、その値は

\[
a = \frac{914}{5} = 182.8 \ \mathrm{Hz}
\]

となった. グラフの直線の式を $Y = aX$ とすると傾き $a$ の不確かさ $\Delta a$ はテキスト25ページの次式で求められる.

\[
\frac {\Delta a}{a} = \sqrt{(\frac {\delta Y}{Y_0})^2 + (\frac {\delta X}{X_0})^2} 
\]

$X_0$, $Y_0$, $\delta X$. $\delta Y$, はグラフより決定される値でそれぞれ
$X_0 = 5$, $Y_0 = 914$, $\delta X = 0.04$, $\delta Y = 7.8$ となるので $ \Delta a $ は,

\[
\frac{\Delta a}{a} = \sqrt{(\frac {12.5}{935})^2 + (\frac {0.04}{5})^2} = 1.37 * 10^-4
\]

この計算より、$\Delta a = 0.125$
よって $a = (182.8 \pm 0.1) \ \mathrm{Hz}$ となった。

(4)式より空気中の音速は $v = \pi d a = 3.14 \times 590 \times 175 = 324369.44 \ \mathrm{mm/s}$

音速の不確かさを  $\Delta v$ とするとその値は,

\[
\Delta v = v \sqrt{(\frac {\Delta a}{a})^2 + (\frac {\Delta d}{d})^2 }
\]

\[
\Delta v =  324369.44 \times \sqrt{(\frac {0.12}{182})^2 + (\frac {7}{590})^2 } = 3854.384...  \ \mathrm{mm/s} \cong 3 \ \mathrm{m/s}
\]

したがってクントの実験から音速 $v$ は $v = (324 \pm 3) \ \mathrm{m/s}$ と求められる.


\subsection{共鳴曲線による音速測定}

各モードにおける共鳴振動数付近での周波数とマイクの電圧の測定値は次のようになった.

\begin{table}[htb]
    \centering
    \caption{モード1の測定値}
    \begin{tabular}{ccc} \\
        \hline
        $f / \mathrm{Hz}$ $V / \mathrm{mV}$ \\
        \hline
       156.1 & 179.4 \\
       158.8 & 211.1 \\
       166.0 & 353.0 \\
       168.6 & 426.6 \\
       171.3 & 496.7 \\
       173.7 & 535.2 \\
       175.3 & 543.0 \\
       177.0 & 539.0 \\
       180.0 & 484.2 \\
       182.1 & 441.7 \\
       184.9 & 386.4 \\
       191.8 & 281.4 \\
       206.1 & 187.9 \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{table}

\clearpage

\begin{table}[htb]
    \centering
    \caption{モード2の測定値}
    \begin{tabular}{ccc} \\
        \hline
        $f / \mathrm{Hz}$ & $V / \mathrm{mV}$ \\
        \hline
        312.7 & 378.1 \\
        321.2 & 457.5 \\
        329.1 & 535.4 \\
        334.8 & 582.7 \\
        343.5 & 630.7 \\
        346.1 & 637.4 \\
        348.1 & 640.0 \\
        345.5 & 636.2 \\
        349.9 & 641.0 \\
        350.5 & 638.4 \\
        352.8 & 636.9 \\
        354.2 & 634.9 \\
        356.6 & 630.7 \\
        359.3 & 622.9 \\
        368,9 & 584.4 \\
        371.9 & 572.6 \\
        378.3 & 549.0 \\
        417.6 & 449.8 \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{table}

\clearpage

\begin{table}[htb]
    \centering
    \caption{モード3の測定値}
    \begin{tabular}{ccc} \\
        \hline
        $f / \mathrm{Hz}$ & $V / \mathrm{mV}$ \\
        \hline
        451.5 & 427.4 \\
        486.4 & 458.5 \\
        504.3 & 493.7 \\
        515.1 & 517.3 \\
        523.9 & 535.4 \\
        534.1 & 551.5 \\
        539.7 & 556.3 \\
        541.6 & 557.0 \\
        547.0 & 557.8 \\
        549.0 & 557.5 \\
        550.5 & 557.0 \\
        551.3 & 557.5 \\
        554.5 & 554.5 \\
        556.9 & 553.3 \\
        558.1 & 552.0 \\
        559.0 & 551.5 \\
        561.4 & 547.2 \\
        564.3 & 542.5 \\
        568.9 & 532.7 \\
        572.3 & 523.1 \\
        584.0 & 486.2 \\
        589.0 & 469.6 \\
        600.9 & 431.4 \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{table}


\clearpage

\begin{table}[htb]
    \centering
    \caption{モード4の測定値}
    \begin{tabular}{ccc} \\
        \hline
        $f / \mathrm{Hz}$ & $V / \mathrm{mV}$ \\
        \hline
        685.4 & 326.4 \\
        694.4 & 346.5 \\
        707.2 & 392.7 \\
        716.1 & 422.4 \\
        728.3 & 457.8 \\
        734.9 & 472.4 \\
        739.5 & 479.9 \\
        740.6 & 480.4 \\
        742.4 & 481.9 \\
        743.8 & 482.4 \\
        744.2 & 482.4 \\
        745.3 & 483.2 \\
        746.4 & 482.4 \\
        748.5 & 480.4 \\
        751.8 & 475.4 \\
        755.2 & 468.3 \\
        758.5 & 458.0 \\
        766.5 & 429.2 \\
        777.3 & 381.7 \\
        788.5 & 334.4 \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{table}

\clearpage

\begin{table}[htb]
    \centering
    \caption{モード5の測定値}
    \begin{tabular}{ccc} \\
        \hline
        $f / \mathrm{Hz}$ & $V / \mathrm{mV}$ \\
        \hline
        871.3 & 283.7 \\
        876.1 & 296.2 \\
        881.5 & 313.1 \\
        895.1 & 364.1 \\
        902.5 & 391.2 \\
        909.3 & 409.8 \\
        911.5 & 413.6 \\
        913.4 & 416.6 \\
        914.7 & 417.3 \\
        916.5 & 418.6 \\
        917.1 & 419.4 \\
        919.1 & 418.6 \\
        920.2 & 417.8 \\
        923.1 & 415.8 \\
        924.0 & 414.6 \\
        928.0 & 406.3 \\
        937.0 & 378.1 \\
        948.6 & 335.4 \\
        958.1 & 302.8 \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{table}

共鳴曲線のピークから求めた共鳴振動数は次の表の通りとなった。

\begin{table}[htb]
    \centering
    \caption{共鳴曲線のピークから求めた共鳴振動数}
    \begin{tabular}{ccc} \\
        \hline
        $j$ & $f_j / \mathrm{Hz}$  \\
        \hline
        1 & 175.3 \\
        2 & 349.9 \\
        3 & 550.5 \\
        4 & 744.2 \\
        5 & 917.1 \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{table}

共鳴曲線により決定した共鳴振動数の値をもとに横軸にモード番号 $j$ を縦軸にそのときの共鳴振動数 $f_j$
をとったグラフを作成し, そのグラフの傾きを $a$ としたとき, その値は

\[
a = \frac{917 - 0}{5-0} = 183.4 \ \mathrm{Hz}
\]

となった. グラフの直線の式を $Y = aX$ とすると傾き $a$ の不確かさ $\Delta a$ は次式で求められる.

\[
\frac{\Delta a}{a} = \sqrt{(\frac{\delta Y}{Y_0})^2 + (\frac{\delta X}{X_0})^2} 
\]

$X_0$, $Y_0$, $\delta X$. $\delta Y$, はグラフより決定される値でそれぞれ
$X_0 = 5$, $Y_0 = 917$, $\delta X = 0.06$, $\delta Y = 10.4$ となるので $\Delta a$ は,

\[
\Delta a = 183.9 \times \sqrt{(\frac{10.4}{917})^2 + (\frac{0.06}{5})^2} = 3.0364... \cong 3 \ \mathrm{Hz}
\]

よって $a = (1.83 \pm 0.03) \times 10^2 \ \mathrm{Hz}$ と導かれる.

(4)式より空気中の音速は $v = \pi d a = 3.14 \times 590 \times 175 = 324369.44 \ \mathrm{mm/s}$

音速の不確かさを  $\Delta v$ とするとその値は,

\[
\Delta v = v \sqrt{(\frac {\Delta a}{a})^2 + (\frac{\Delta d}{d})^2 }
\]

\[
\Delta v = 324369.44 \times \sqrt{(\frac {3.03}{183.9})^2 + \frac {7}{590})^2 } = 6585.85...  \ \mathrm{mm/s} \cong 6 \ \mathrm{m/s}
\]

したがって共鳴曲線から音速 $v$ は $v = (3.24 \pm 0.06) \times 10^2 \ \mathrm{m/s}$ と求められた。

\subsection{金属棒}

共鳴が観測された場所は、直管のコルクのないほうの端から以下の距離の場所だった。

\begin{table}[htb]
    \centering
    \caption{金属棒1の時の共鳴した場所}
    \begin{tabular}{cc} \\
        \hline
        mm \\
        \hline
        87 \\
        208 \\
        349 \\
        485 \\
        619 \\
        767 \\
        890 \\
        1034 \\
    \end{tabular}
\end{table}
また、コルクの場所は1355mm、棒の長さは1177mm、同一材質の金属柱の長さは69.3mm、直径は12.45mm、質量は65.85gであった。
計算より、この金属の密度は7.82である。

、音の速さは$v$ は $v = 前の実験より(3.2 \pm 0.06) \times 10^2 \ \mathrm{m/s}$ と求められているので、
計算より、ridgeの感覚の平均は134mmであったので、$ \lambda_g = 268mm$であり、$f_g = \frac{320}{0.268} = 1194[hz]$である。

\begin{table}[htb]
    \centering
    \caption{金属棒2の時の共鳴した場所}
    \begin{tabular}{cc} \\
        \hline
        $j$ & $f_j / \mathrm{Hz}$  \\
        \hline
        181 \\
        272 \\
        377 \\
        485 \\
        594 \\
        705 \\
        803 \\
        908 \\
        1010 \\
        1116 \\
    \end{tabular}
\end{table}
また、コルクの位置は1297mm、同一材質の金属柱の長さは72.35mm、直径は11.88mm、質量は71.53gだった。
計算より、この金属の密度は8.80である。

音の速さは$v$ は $v = 前の実験より(3.2 \pm 0.06) \times 10^2 \ \mathrm{m/s}$ と求められているので、
計算より、ridgeの感覚の平均は103mmであったので、$ \lambda_g = 268mm$であり、$f_g = \frac {320}{0.206} = 1553[hz]$であった。
\section{考察}
今回の実験を行った際の室内の気温は23.6度であったので、音速を計算で求めると345.7m/sであった。
クントの実験から音速 $v$ は $v = (324 \pm 3) \ \mathrm{m/s}$ と求められ、.
共鳴曲線から音速 $v$ は $v = (324 \pm 6)  \ \mathrm{m/s}$ と求められたことから考えると、だいぶ実際の値からは外れてしまっている。
この誤差の原因として考えられることとしては、部屋に空調が利いていて温度計と実際の値に差があったこと、
あるいはオシロスコープの数値が揺れ動いていたことによる誤差が多すぎたことが考えられる。

\section{参考文献}

\begin{itemize}
    \item 基礎科学実験A(物理学実験) 平成29年度版
    \item 理科年表 平成31年度版
\end{itemize}

\end{document}
