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attachment:放射線.tex of hydrogen/基礎科学実験過去レポ

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Attachment '放射線.tex'

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   1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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   3 % レポートテンプレート
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   5 % updated 22 Oct, 2018
   6 % last updated 02 Apr, 2021
   7 %
   8 % (c) Tohru TAKADA@UEC
   9 % 各自のレポートに合わせて変更して使ってください.上記の行は残して使うこと.
  10 % 2次配布可です.ご利用は計画的に.
  11 %
  12 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  13 \documentclass[a4paper,10pt]{jarticle}
  14 \usepackage[dvipdfmx]{graphicx}
  15 \usepackage{amsmath}
  16 \usepackage{latexsym}
  17 \usepackage{multirow}
  18 \usepackage{url}
  19 \usepackage{physics}
  20 \usepackage{comment}
  21 \usepackage{siunitx}
  22 \usepackage{mhchem}
  23 \setlength{\textwidth}{165mm} %165mm-marginparwidth
  24 \setlength{\marginparwidth}{40mm}
  25 \setlength{\textheight}{225mm}
  26 \setlength{\topmargin}{-5mm}
  27 \setlength{\oddsidemargin}{-3.5mm}
  28 %%表記の定義
  29 \def\vector#1{\mbox{\boldmath $#1$}}
  30 \newcommand{\AmSLaTeX}{%
  31  $\mathcal A$\lower.4ex\hbox{$\!\mathcal M\!$}$\mathcal S$-\LaTeX}
  32 \newcommand{\PS}{{\scshape Post\-Script}}
  33 \def\BibTeX{{\rmfamily B\kern-.05em{\scshape i\kern-.025em b}\kern-.08em
  34  T\kern-.1667em\lower.7ex\hbox{E}\kern-.125em X}}
  35 \newcommand{\pderiv}[2]{{\partial#1\over\partial#2}}
  36 \newcommand{\deriv}[2]{{{\rm d}#1\over{\rm d}#2}}
  37 \newcommand{\dderiv}[2]{{{\rm d}^2#1\over{\rm d}#2^2}}
  38 \newcommand{\DeLta}{{\mit\Delta}}
  39 \renewcommand{\d}{{\rm d}}
  40 \newcommand{\dt}[1]{\frac{\mathrm{d}#1}{\mathrm{d}t}}
  41 \newcommand{\inv}{\ifmmode^{-1}\else$^{-1}$\fi}
  42 \newcommand{\dinv}{\ifmmode^{-2}\else$^{-2}$\fi}
  43 \newcommand{\ds}{\ifmmode\Delta s\else$\Delta s$\fi}
  44 \newcommand{\ddt}{\ifmmode\Delta t\else$\Delta t$\fi}
  45 \newcommand{\tbox}[1]{\begin{tabular}{c}#1\end{tabular}}
  46 \def\wcaption#1{\caption[]{\parbox[t]{100mm}{#1}}}
  47 \def\rm#1{\mathrm{#1}}
  48 \def\degC{\ifmmode ^\circ \rm{C} \else $^\circ \rm{C}$ \fi}
  49 %%章立ての標識設定
  50 \makeatletter
  51 %\def\section{\@startsection {section}{1}{\z@}{-3.5ex plus -1ex minus % -.2ex}{2.3ex plus .2ex}{\Large\bf}}
  52 \def\section{\@startsection {section}{1}{\z@}{-3.5ex plus -1ex minus
  53 -.2ex}{2.3ex plus .2ex}{\normalsize\bf}}
  54 \makeatother
  55 
  56 \makeatletter
  57 \def\subsection{\@startsection {subsection}{1}{\z@}{-3.5ex plus -1ex minus
  58 -.2ex}{2.3ex plus .2ex}{\normalsize\bf}}
  59 \makeatother
  60 
  61 \makeatletter
  62 \def\@seccntformat#1{\@ifundefined{#1@cntformat}%
  63    {\csname the#1\endcsname\quad}%      default
  64    {\csname #1@cntformat\endcsname}%    enable individual control
  65 }
  66 \makeatother
  67 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  68 \newif\ifUnw
  69 \Unwfalse
  70 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  71 \begin{document}
  72 
  73 %
  74 %% 通常は指定の表紙を付けて印刷して提出していますが,電子データをアップロードする際は
  75 %% 表紙は付けなくても結構です.冒頭にタイトル,所属,学籍番号,氏名と記載日
  76 %% 修正版を提出する際は更新日を書いてください
  77 %
  78 \begin{center}
  79 {\Large{\bf 放射線の計測}} \\
  80 {\bf 電気通信大学 I類 \\ %XXプログラム\\
  81 2210632 宗村キヤ} \\
  82 {\bf 2022年7月11日作成} \\
  83 {\bf 2022年7月24日更新} % 修正版提出時のみ
  84 \end{center}
  85 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  86 \section{目的}
  87 
  88  ガイガー・ミューラー計数管(以下,GM計数管と記す)はH. GeigerとW. M\"{u}llerによって考案された放射線計数管である.
  89 アルゴンガスとアルコールガスで満たした金属円筒を陰極,中心の金属線を陽極として電圧をかける事によって,放射線粒子が入
  90 った時に粒子の数と同じ回数の電流パルスが生じる.この計数値に対し統計的な処理を施して,放射性崩壊の原理と放射性物質に
  91 対する理解を深める.
  92 
  93 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  94 \section{原理}
  95 \subsection{\ce{^{137}_{55}Cs}の崩壊系列}
  96 不安定な原子核は$\alpha$線(\ce{He}原子核),$\beta$線(電子),$\gamma$線(高エネルギー電磁波),あるいは中性子線を出すことによってより安定な原子核へ崩壊する.
  97 今回の実験で用いる放射性同位元素セシウム137のベータ崩壊様式は式\eqref{eq:BetaCol}に示す通りとなっている.要するに,
  98 セシウム137は$\beta$崩壊を起こして,高エネルギー状態のバリウム137(バリウム137m)を生じる.このバリウム137は$\gamma$線を放出して,
  99 エネルギー的に安定した状態となる.
 100 \begin{equation}
 101 ^{137}_{\hspace{1.2mm}55}\rm{Cs} \rightarrow ^{137}_{\hspace{1.2mm}56}\rm{Ba} + \rm{e}^{-} +\overline{\nu}_{\rm{e}}
 102 \label{eq:BetaCol}
 103 \end{equation}
 104 一般に放射性崩壊において,放射性原子の数が元の半分になるまでに要する時間を半減期という.
 105 \begin{comment}
 106 \subsection{放射性崩壊の計数値の分布}
 107 放射性原子の崩壊は確率の法則に支配されており,個々の原子についていつ崩壊するのか予言できず,崩壊確率を知ることが出来るのみである.
 108 この確率は,同じ原子核においては共通しており,時刻$t$において$N$個の原子核が存在するとき,その単位時間当たりの崩壊数
 109 $\dv{N}{t}$$N$に比例するため,式\eqref{eq:N/t}のように書ける.
 110 \begin{equation}
 111 	\dv{N}{t}=-\lambda N\label{eq:N/t}
 112 \end{equation}
 113 
 114 
 115 比例定数$\lambda$を崩壊定数といい,$t=0$における$N$$N_0$と表せば,$N$を式\eqref{eq:Nt}によって表せる.
 116 \begin{equation}
 117 	N(t)=N_0e^{-\lambda t}\label{eq:Nt}
 118 \end{equation}
 119 このとき,半減期$\tau$は式\eqref{eq:Tau}のようにして求められる.
 120 \begin{equation}
 121 	\tau=\frac{\ln2}{\lambda}\label{eq:Tau}
 122 \end{equation}
 123 \end{comment}
 124 
 125 
 126 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 127 \section{方法}
 128 \subsection{実験器具}
 129 今回の実験で用いる測定装置の外見を図\ref{fig:Analysis}に示す.GM管スタンドに計測する対象を収める.ゲート切替スイッチは
 130 計数する時間を設定するものであり,スタートボタンを押してから指定した時間計数し続ける.計数が終了すると計測ランプが消えるので
 131 この間に計数値をノートに控えて置き,リセットボタンを押すことで0から計数が可能な状態となる.
 132 \begin{figure}[ht]
 133 	\centering
 134 	\includegraphics[scale=0.5]{Analysis.pdf}
 135 	\caption{今回の測定装置の大まかな外見}
 136 	\label{fig:Analysis}
 137 \end{figure}
 138 ガイガー・ミューラー計数管は図\ref{fig:Counter}に示すような構造をしており,金属円筒内にはアルゴンガスやアルコールガス
 139 などが封入されている.中心の細い金属線を陽極,金属円筒を陰極として,$500\sim1000\,\si{V}$の電圧をかけたとき,放射線粒子が
 140 1個入ると放電して1個の電流パルスを生じる.この電流パルスの個数は,計数管に入った放射線粒子の数に等しい.計数値は本質的には
 141 個数であるので,無次元量である\if0が便宜的に\si{cps}(\SI{1}{s}当たりの計数値),\si{cpm}(\SI{60}{s}当たりの計数値)といった
 142 単位を用いることがある\fi
 143 \begin{figure}[ht]
 144 	\centering
 145 	\includegraphics[scale=0.72]{Counter.pdf}
 146 	\caption{ガイガー・ミューラー計数管の構造}
 147 	\label{fig:Counter}
 148 \end{figure}
 149 \subsection{手順}
 150 なお,以下の手順で放射線源や穴の開いた板の入れる位置,そして\SI{1}{mm}\ce{Al}板,\ce{Al}箔,\ce{Ni}箔の厚さを予め記録した.
 151 \begin{enumerate}
 152 	\item 測定装置の電源を入れて,印加電圧調整つまみを電圧指示計がちょうど\SI{500}{V}を指すように回した.
 153 	\item ゲート切替スイッチを\SI{1}{min}に合わせた上で,GM管スタンドに何も入っていない状態で20回計数した.
 154 	\item \SI{80}{mm}の位置に放射線源を,\SI{40}{mm}の位置に穴の開いた板をしまって,5回計数した.
 155 	\item \ce{Al}板,\ce{Al}箔,\ce{Ni}箔それぞれの厚さをマイクロメーターで3箇所測定し,ゼロ点補正を行った値の平均を求めた.
 156 	\item 穴の開いた板に\SI{1}{mm}\ce{Al}板を乗せて,5回計数した.
 157 	\item \SI{1}{mm}\ce{Al}板を取って,\ce{Al}箔を1枚,3枚,6枚乗せたときのそれぞれの場合において5回計数した.
 158 	\item 同様に,\ce{Ni}箔を1枚,3枚,5枚乗せたときのそれぞれの場合において5回計数した.
 159 	\item 金属箔と穴の開いた板を取り除き,ゲート切替スイッチを\SI{1}{sec}に合わせた.
 160 	\item 最初に100回(計測[i]),次に298回(計測[ii])の測定を行った.
 161 	\item 放射線源を入れる位置を変えて,300回(計測[iii])の測定を行った.
 162 \end{enumerate}
 163 
 164 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 165 \section{実験結果}
 166 以降,実験データやそれを計算して得た値は小数点以下3桁まで示す.
 167 \subsection{自然計数の測定}
 168 \ref{table:Natural}にゲート時間を\SI{60}{s}にした時の自然計数の20回分の測定結果を整理したうえで示す.
 169 \begin{table}[htp]
 170 	\caption{自然計数の測定結果}
 171 	\label{table:Natural}
 172 	\centering
 173 	\begin{tabular}{rr}\hline
 174 		計数値$N$ & 出現回数$n_N$ \\\hline
 175 		7 & 1 \\
 176 		8 & 1 \\
 177 		9 & 0 \\
 178 		10 & 3 \\
 179 		11 & 0 \\
 180 		12 & 1 \\
 181 		13 & 4 \\
 182 		14 & 4 \\
 183 		15 & 2 \\
 184 		16 & 1 \\
 185 		17 & 0 \\
 186 		18 & 0 \\
 187 		19 & 1 \\
 188 		20 & 1 \\
 189 		21 & 0 \\
 190 		22 & 0 \\
 191 		23 & 0 \\
 192 		24 & 1 \\\hline
 193 	\end{tabular}
 194 \end{table}
 195 全測定結果を平均して,自然計数の計数値$N_0$を求めると,
 196 \begin{equation}
 197 	N_0=\frac{\sum n_NN}{\sum n_N}=13.7
 198 \end{equation}
 199 \ref{table:Natural}のデータを縦軸を出現回数,横軸を計数値として棒グラフで表示したものと$N_0$の値を図\ref{fig:Natural}にまとめて示す.
 200 このグラフからは,特に分布のようなものは見られなかった.
 201 \begin{figure}[ht]
 202 	\centering
 203 	\includegraphics{12_Nt.pdf}
 204 	\caption{自然計数の測定結果の分布}
 205 	\label{fig:Natural}
 206 \end{figure}\clearpage
 207 \subsection{$\beta$線の計数値の分布の観測}
 208 \ref{table:BETA1}に100回の測定で得られた結果をテキストの通り整理したものを示す.なお,平均値$\overline{N}$,平均値の平方根$\sqrt{\overline{N}}$
 209 標準偏差$\sigma$の値は次の計算で求めた.
 210 \begin{eqnarray}
 211 	\overline{N}=\frac{\sum n_NN}{\sum n_N}=10.04\\
 212 	\sqrt{\overline{N}}=3.17\\
 213 	\sigma=\sqrt{\frac{\sum n_N(N-\overline{N})^2}{(\sum n_N)-1}}=3.15
 214 \end{eqnarray}
 215 \begin{table}
 216 	\caption{$\vcenter{\vbox{\hbox{計数値の分布の実験データ}\hbox{測定回数100回,ゲート時間\SI{1}{s},線源の位置\SI{80}{mm}}}}$}
 217 	\label{table:BETA1}
 218 	\begin{tabular}{rrrrrr}\hline
 219 		\tbox{計数値\\$N$} & \tbox{出現回数\\$n_N$} & \tbox{出現確率\\$n_N/\sum n_N$} & 
 220 		\tbox{計数値と$n_N$の積\\$n_NN$} & \tbox{2乗偏差と$n_N$の積\\$n_N(N-\overline{N})^2$} & \tbox{ポアッソン分布\\$P(N)$} \\\hline
 221 		3 & 1 & 0.010 & 3 & 50 & 0.007 \\
 222 		4 & 2 & 0.020 & 8 & 73 & 0.018 \\
 223 		5 & 4 & 0.040 & 20 & 102 & 0.037 \\
 224 		6 & 5 & 0.050 & 30 & 82 & 0.062 \\
 225 		7 & 6 & 0.060 & 42 & 55 & 0.089 \\
 226 		8 & 11 & 0.110 & 88 & 46 & 0.112 \\
 227 		9 & 16 & 0.160 & 144 & 17 & 0.125 \\
 228 		10 & 13 & 0.130 & 130 & 0 & 0.125 \\
 229 		11 & 15 & 0.150 & 165 & 14 & 0.114 \\
 230 		12 & 13 & 0.130 & 156 & 50 & 0.096 \\
 231 		13 & 2 & 0.020 & 26 & 18 & 0.074 \\
 232 		14 & 3 & 0.030 & 42 & 47 & 0.053 \\
 233 		15 & 4 & 0.040 & 60 & 98 & 0.035 \\
 234 		16 & 1 & 0.010 & 16 & 36 & 0.022 \\
 235 		17 & 2 & 0.020 & 34 & 97 & 0.013 \\
 236 		18 & 0 & 0.000 & 0 & 0 & 0.007 \\
 237 		19 & 1 & 0.010 & 19 & 80 & 0.004 \\
 238 		20 & 0 & 0.000 & 0 & 0 & 0.002 \\
 239 		21 & 1 & 0.010 & 21 & 120 & 0.001 \\\hline
 240 		合計 & 100 & 1 & 1004 & 984 & 0.997 \\\hline
 241 	\end{tabular}
 242 \end{table}
 243 \ref{table:BETA1}のデータを縦軸を出現確率,横軸を計数値として棒グラフで表示したものに,ポアッソン分布の値をプロットした
 244 ものを図\ref{fig:BETA1}に示す.平均値$\overline{N}$,平均値の平方根$\sqrt{\overline{N}}$,標準偏差$\sigma$の値は図中に書き入れた.
 245 \begin{figure}[ht]
 246 	\centering
 247 	\includegraphics{12_beta1.pdf}
 248 	\caption{100回分の計数値の分布}
 249 	\label{fig:BETA1}
 250 \end{figure}\clearpage
 251 \ref{table:BETA2}に298回の測定で得られた結果をテキストの通り整理したものを示す.
 252 そして,このデータを縦軸を出現確率,横軸を計数値として棒グラフで表示したものに,ポアッソン分布の値をプロットした
 253 ものを図\ref{fig:BETA2}に示す.平均値$\overline{N}$,平均値の平方根$\sqrt{\overline{N}}$,標準偏差$\sigma$の値は図中に書き入れた.
 254 \begin{table}[htp]
 255 	\caption{$\vcenter{\vbox{\hbox{計数値の分布の実験データ}\hbox{測定回数298回,ゲート時間\SI{1}{s},線源の位置\SI{80}{mm}}}}$}
 256 	\label{table:BETA2}
 257 	\centering
 258 	\begin{tabular}{rrrrrr}\hline
 259 		\tbox{計数値\\$N$} & \tbox{出現回数\\$n_N$} & \tbox{出現確率\\$n_N/\sum n_N$} & 
 260 		\tbox{計数値と$n_N$の積\\$n_NN$} & \tbox{2乗偏差と$n_N$の積\\$n_N(N-\overline{N})^2$} & \tbox{ポアッソン分布\\$P(N)$} \\\hline
 261 		2 & 1 & 0.003 & 2 & 53 & 0.004 \\
 262 		3 & 2 & 0.007 & 6 & 79 & 0.012 \\
 263 		4 & 6 & 0.020 & 24 & 167 & 0.029 \\
 264 		5 & 19 & 0.064 & 95 & 348 & 0.054 \\
 265 		6 & 27 & 0.091 & 162 & 290 & 0.083 \\
 266 		7 & 40 & 0.134 & 280 & 208 & 0.110 \\
 267 		8 & 34 & 0.114 & 272 & 56 & 0.127 \\
 268 		9 & 38 & 0.128 & 342 & 3 & 0.131 \\
 269 		10 & 36 & 0.121 & 360 & 19 & 0.122 \\
 270 		11 & 33 & 0.111 & 363 & 98 & 0.103 \\
 271 		12 & 12 & 0.040 & 144 & 89 & 0.079 \\
 272 		13 & 21 & 0.070 & 273 & 291 & 0.057 \\
 273 		14 & 10 & 0.034 & 140 & 223 & 0.038 \\
 274 		15 & 9 & 0.030 & 135 & 295 & 0.023 \\
 275 		16 & 5 & 0.017 & 80 & 226 & 0.013 \\
 276 		17 & 3 & 0.010 & 51 & 179 & 0.007 \\
 277 		18 & 2 & 0.007 & 36 & 152 & 0.004 \\\hline
 278 		合計 & 298 & 1 & 2765 & 2774 & 0.996 \\\hline
 279 	\end{tabular}
 280 \end{table}
 281 \begin{figure}[ht]
 282 	\centering
 283 	\includegraphics{12_beta2.pdf}
 284 	\caption{298回分の計数値の分布}
 285 	\label{fig:BETA2}
 286 \end{figure}\clearpage
 287 \ref{table:BETA3}に線源を\SI{40}{mm}に置いた時の300回の測定で得られた結果をテキストの通り整理したものを示す.
 288 そして,このデータを縦軸を出現確率,横軸を計数値として棒グラフで表示したものに,ポアッソン分布の値をプロットした
 289 ものを図\ref{fig:BETA3}に示す.平均値$\overline{N}$,平均値の平方根$\sqrt{\overline{N}}$,標準偏差$\sigma$の値は図中に書き入れた.
 290 今回の測定は,測定[i],測定[ii]と比べて計数値のばらつきが大きくなった.
 291 \begin{table}[htp]
 292 	\caption{$\vcenter{\vbox{\hbox{計数値の分布の実験データ}\hbox{測定回数300回,ゲート時間\SI{1}{s},線源の位置\SI{40}{mm}}}}$}
 293 	\label{table:BETA3}
 294 	\centering
 295 	\begin{tabular}{rrrrrr}\hline
 296 		\tbox{計数値\\$N$} & \tbox{出現回数\\$n_N$} & \tbox{出現確率\\$n_N/\sum n_N$} & 
 297 		\tbox{計数値と$n_N$の積\\$n_NN$} & \tbox{2乗偏差と$n_N$の積\\$n_N(N-\overline{N})^2$} & \tbox{ポアッソン分布\\$P(N)$} \\\hline
 298 		24 & 2 & 0.007 & 48 & 393 & 0.004 \\
 299 		25 & 1 & 0.003 & 25 & 170 & 0.006 \\
 300 		26 & 6 & 0.020 & 156 & 867 & 0.009 \\
 301 		27 & 2 & 0.007 & 54 & 243 & 0.013 \\
 302 		28 & 5 & 0.017 & 140 & 502 & 0.018 \\
 303 		29 & 4 & 0.013 & 116 & 326 & 0.023 \\
 304 		30 & 10 & 0.033 & 300 & 644 & 0.029 \\
 305 		31 & 17 & 0.057 & 527 & 839 & 0.036 \\
 306 		32 & 11 & 0.037 & 352 & 399 & 0.042 \\
 307 		33 & 14 & 0.047 & 462 & 353 & 0.049 \\
 308 		34 & 15 & 0.050 & 510 & 243 & 0.055 \\
 309 		35 & 20 & 0.067 & 700 & 183 & 0.059 \\
 310 		36 & 15 & 0.050 & 540 & 61 & 0.063 \\
 311 		37 & 23 & 0.077 & 851 & 24 & 0.065 \\
 312 		38 & 20 & 0.067 & 760 & 0 & 0.065 \\
 313 		39 & 12 & 0.040 & 468 & 11 & 0.063 \\
 314 		40 & 15 & 0.050 & 600 & 59 & 0.060 \\
 315 		41 & 13 & 0.043 & 533 & 115 & 0.056 \\
 316 		42 & 17 & 0.057 & 714 & 269 & 0.050 \\
 317 		43 & 19 & 0.063 & 817 & 471 & 0.044 \\
 318 		44 & 18 & 0.060 & 792 & 643 & 0.038 \\
 319 		45 & 11 & 0.037 & 495 & 535 & 0.032 \\
 320 		46 & 9 & 0.030 & 414 & 573 & 0.027 \\
 321 		47 & 8 & 0.027 & 376 & 645 & 0.022 \\
 322 		48 & 2 & 0.007 & 96 & 199 & 0.017 \\
 323 		49 & 2 & 0.007 & 98 & 241 & 0.013 \\
 324 		50 & 4 & 0.013 & 200 & 574 & 0.010 \\
 325 		51 & 1 & 0.003 & 51 & 168 & 0.008 \\
 326 		52 & 2 & 0.007 & 104 & 391 & 0.006 \\
 327 		53 & 1 & 0.003 & 53 & 224 & 0.004 \\
 328 		54 & 0 & 0.000 & 0 & 0 & 0.003 \\
 329 		55 & 1 & 0.003 & 55 & 288 & 0.002 \\\hline
 330 		合計 & 300 & 1 & 11407 & 10653 & 0.990 \\\hline
 331 	\end{tabular}
 332 \end{table}
 333 \begin{figure}[ht]
 334 	\centering
 335 	\includegraphics[scale=0.95]{12_beta3.pdf}
 336 	\caption{300回分の計数値の分布}
 337 	\label{fig:BETA3}
 338 \end{figure}\clearpage
 339 \subsection{$\beta$線の吸収の測定}
 340 \ce{Al}板の厚さを測って計算したところ\SI{0.996}{mm}であった.
 341 この時の,5回分の計数値おそれぞれ97,93,118,114,99であり,平均すると104.2であった.
 342 以降,この値を線源の$\beta$線以外の放射線の計数値$\overline{N'}$とする.更に,以下登場する$\beta$線計数値$\overline{N_\beta}$,標準偏差$\sigma_\beta$
 343 計測回数$n$と計数値の平均$\overline{N}$を用いて次のようにして求めた.
 344 \begin{eqnarray}
 345 	\overline{N_\beta}=\overline{N}-\overline{N'}\\
 346 	\sigma_\beta=\sqrt{\frac{\overline{N}+\overline{N'}}{n}}
 347 \end{eqnarray}
 348 
 349 続いて表\ref{table:AlBeta}にアルミニウム箔を1枚,3枚,6枚乗せたときの計数値を,表\ref{table:NiBeta}にニッケル箔を1枚,
 350 3枚,5枚乗せたときの計数値を示す.
 351 \begin{table}[htp]
 352 	\caption{$\beta$線の吸収の実験データ}
 353 	\label{table:AlBeta}
 354 	試料金属:アルミニウム,$\beta$線源の位置\SI{80}{mm},金属板の位置\SI{40}{mm}\\
 355 	測定回数5回,$\beta$線を遮断した時の計数値 104.2
 356 	\centering
 357 	\begin{tabular}{clclrrr}\hline
 358 		枚数 & \tbox{厚さ\\d/mm} & \tbox{1分間の計数値\\$N$} & \tbox{平均値\\$\overline{N}$} & \tbox{$\beta$線計数値\\$\overline{N_\beta}$} &
 359 		\tbox{対数\\$\ln\overline{N_\beta}$} & \tbox{標準偏差\\$\sigma_\beta$} \\\hline
 360 		0 & 0 & 562,616,587,587,578 & 586 & 482 & 6.178 & 11.749  \\
 361         1 & 0.028 & 501,460,476,493,446 & 475.2 & 371 & 5.916 & 10.765  \\
 362         3 & 0.078 & 376,346,345,341,347 & 351 & 247 & 5.509 & 9.541  \\
 363         6 & 0.160 & 249,220,265,247,264 & 249 & 145 & 4.975 & 8.405  \\\hline
 364 	\end{tabular}
 365 \end{table}
 366 \begin{table}[htp]
 367 	\caption{$\beta$線の吸収の実験データ}
 368 	\label{table:NiBeta}
 369 	試料金属:ニッケル,$\beta$線源の位置\SI{80}{mm},金属板の位置\SI{40}{mm}\\
 370 	測定回数5回,$\beta$線を遮断した時の計数値 104.2
 371 	\centering
 372 	\begin{tabular}{clclrrr}\hline
 373 		枚数 & \tbox{厚さ\\$d$/mm} & \tbox{1分間の計数値\\$N$} & \tbox{平均値\\$\overline{N}$} & \tbox{$\beta$線計数値\\$\overline{N_\beta}$} &
 374 		\tbox{対数\\$\ln\overline{N_\beta}$} & \tbox{標準偏差\\$\sigma_\beta$} \\\hline
 375         0 & 0 & 562,616,587,587,578 & 586 & 482 & 6.178 & 11.749  \\
 376         1 & 0.029 & 315,276,277,310,306 & 296.8 & 193 & 5.261 & 8.955  \\
 377         3 & 0.071 & 163,178,176,161,150 & 165.6 & 61 & 4.117 & 7.346  \\
 378         5 & 0.118 & 123,141,128,125,134 & 130.2 & 26 & 3.258 & 6.847  \\\hline
 379 	\end{tabular}
 380 \end{table}
 381 続いて図\ref{fig:AlBeta}\ref{fig:NiBeta}に縦軸を$\ln\overline{N_\beta}$を,横軸に$d$をとってグラフを描いたものを示す.
 382 グラフの傾きと線吸収計数$\mu$,これを密度$\rho$で割った質量吸収係数$\mu_\rm{m}=\mu/\rho$を図に書き入れた.
 383 なお,アルミニウムの密度$\rho_{\ce{Al}}$,ニッケルの密度$\rho_{\ce{Ni}}$は文献値として次の値を採用した~\cite{bib:timeline}
 384 \begin{eqnarray}
 385 	\rho_{\ce{Al}}=\SI{2.70}{g.cm^{-3}}\label{val:rhoAl}\\
 386 	\rho_{\ce{Ni}}=\SI{8.908}{g.cm^{-3}}\label{val:rhoNi}
 387 \end{eqnarray}
 388  また,グラフの直線の式は最小二乗法によって求めた.
 389 最小二乗法を用いた一次関数の近似は2つの量$x$$y$の関係として求める式を$y=ax+b$としたとき,$a$$b$は以下のようにして得られる.
 390 なお,$x$$y$$n$個の測定値を整数$i$を用いて$x_i$$y_i$のように表す.また,$\sum_{i=1}^n$を単に$\sum$と表す.
 391 \begin{align}
 392 	b=&\frac{\sum x_i^2\sum y_i-\sum x_i\sum x_iy_i}{n\sum x_i^2-\left(\sum x_i\right)^2}\label{eq:b2nd}\\
 393 	a=&\frac{\sum x_i(y_i-b)}{\sum x_i^2}\label{eq:a2nd}
 394 \end{align}
 395 \begin{figure}[ht]
 396 	\centering
 397 	\includegraphics{12_Al.pdf}
 398 	\caption{アルミニウム板の厚さと計数値の関係}
 399 	\label{fig:AlBeta}
 400 \end{figure}
 401 \begin{figure}[ht]
 402 	\centering
 403 	\includegraphics{12_Ni.pdf}
 404 	\caption{ニッケル板の厚さと計数値の関係}
 405 	\label{fig:NiBeta}
 406 \end{figure}
 407 
 408 \ref{fig:AlBeta}\ref{fig:NiBeta}を見ると,共に各点が大まかに直線の形に並んでいることが分かる.最小二乗法で引いた
 409 直線は各点のエラーバー上を通っているので,大きく外れた点はない.両グラフは縦軸に自然対数を用いたので,勾配の絶対値が,
 410 線吸収係数$\mu$に一致する.
 411 
 412 
 413 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 414 \section{考察}
 415 \subsection{自然計数の測定}
 416 今回の実験から,線源を持ち込まずとも周囲に放射線があることが分かる.だが,この放射線はセシウム137によるものと比べて明らかに
 417 微弱であることも分かる.セシウム137由来の$\gamma$線による計数値$N'-N_0$と自然放射線による計数値$N_0$の比を取ると,
 418 \begin{equation}
 419 	\frac{N_0}{N'-N_0}\times100=15.1\,\%
 420 \end{equation}
 421 となり,実際に僅かな量しかないことがわかる.
 422 \subsection{$\beta$線の計数値の分布の観測}
 423 今回のデータにおいて,視覚的には確かに$\sqrt{\overline{N}}$$\sigma$の差が小さくなるほどグラフの形がポアッソン分布に近くなることが分かる.
 424 $\sqrt{\overline{N}}$$\sigma$の差が最小である図\ref{fig:BETA2}はほかの図と比べても明らかにポアッソン分布に近い形を
 425 しているが,そこから差が0.01だけ開いた図\ref{fig:BETA3}と差が0.20も開いている図\ref{fig:BETA1}のどちらがポアッソン分布から離れた
 426 形状をしているかは分からない.
 427 故に量的比較を行うために,表\ref{table:Difference}に各計測に対してポアッソン分布からの実際のズレ$\Delta P$を式\eqref{eq:Diff}のようにして
 428 計算したものを示す.なお,計数値$N$の出現確率$p_N$
 429 \begin{equation}
 430 	p_N=\frac{n_N}{\sum n_N}
 431 \end{equation}
 432 と定め,各計測における計数値の最大を$N_{\max}$,最小を$N_{\min}$とおく.
 433 \begin{equation}
 434 	\Delta P=\sqrt{\frac{\sum(P(N)-p_N)^2}{N_{\max}-N_{\min}}}\label{eq:Diff}
 435 \end{equation}
 436 \begin{table}
 437 	\caption{$\sqrt{\overline{N}}$$\sigma$の差とポアッソン分布からのズレとの関係}
 438 	\label{table:Difference}
 439 	\centering
 440 	\begin{tabular}{ccrr}\hline
 441 		計測 & 計測回数 & \tbox{\\$\sqrt{\overline{N}}-\sigma$} & \tbox{ポアッソン分布からの平均のズレ\\$\Delta P$} \\\hline
 442 		計測[i] & 100 & 0.02 & 0.021 \\
 443 		計測[ii] & 298 & -0.01 & 0.013 \\
 444 		計測[iii] & 300 & 0.20 & 0.010 \\\hline
 445 	\end{tabular}
 446 \end{table}
 447 
 448 計算してみると意外なことに,図\ref{fig:BETA3}では少なくとも計測[ii]よりもポアッソン分布からズレているように見えた計測[iii]がポアッソン分布に近いことが分かる.
 449 この指標が正しいものかは分からないが,これを認めれば今回の実験では$\sqrt{\overline{N}}$$\sigma$の差が小さくなるほどグラフの形がポアッソン分布に近くなることは
 450 確かめられていないことが分かる.さらに,計測回数と$\Delta P$の関係もこのデータでははっきりとしない.
 451 
 452 今回,線源を計数管に近づけたところ図\ref{fig:BETA3}のように,分布の幅が広がり線源が遠い場合と比べて分布の高さが低くなった.これは,
 453 計数値の平均が位置が\SI{80}{mm}の時と比べて凡そ4倍になっていることに起因すると考えられる.
 454 \subsection{$\beta$線の吸収の測定}
 455 \ce{Al}箔と\ce{Ni}箔それぞれの実験から得られた$\mu_\rm{m}$\SI{0.21}{cm^2/g}程度の差なので,概ね実験の操作に不備はないと思われる.
 456 \ref{table:MuRho}に各材質の質量吸収係数と線吸収係数を示す.
 457 \begin{table}
 458 	\caption{材質ごとの線吸収係数と質量吸収係数}
 459 	\label{table:MuRho}
 460 	\centering
 461 	\begin{tabular}{crrc}\hline
 462 		材質 & 密度$\rho$/g\,cm$^{-3}$ & 線吸収係数$\mu$/cm\inv & 質量吸収係数$\mu_\rm{m}$/cm$^2$\,g\inv \\\hline
 463 		\ce{Al} & 2.70 & 74 & 27.41 \\
 464 		\ce{Ni} & 8.908 & 246 & 27.62 \\\hline
 465 	\end{tabular}
 466 \end{table}
 467 
 468 この図から,密度が高くなるほど放射線をより吸収するようになることが推測され,放射線の遮蔽材としては高密度の物質が向くことが分かる.
 469 \subsection{自然放射性原子}
 470 調べたところ自然界に存在する放射性原子には表\ref{table:NatRad}のようなものがあるとのことだ~\cite{bib:timeline}\cite{bib:Minienv}
 471 \begin{table}[h]
 472 	\caption{自然界に存在する放射性原子の一例とその放射線の種類及び半減期}
 473 	\label{table:NatRad}
 474 	\centering
 475 	\begin{tabular}{ccr}\hline
 476 		放射性原子 & 放射線の種類 & 半減期 \\\hline
 477 		\ce{^{222}_{86}Rn} & $\alpha$& 3.8\,\\
 478 		\ce{^{220}_{86}Rn} & $\alpha$& 55\,s \\
 479 %		\ce{^{210}_{82}Pb} &  & 22\,年 \\
 480 %		\ce{^{210}_{84}Po} &  & 1.38$\times10^2$\,日 \\
 481 		\ce{^3_1H} & $\beta$& 12.32\,\\
 482 		\ce{^{14}_6C} & $\beta$& $5.70\times10^3$\,\\
 483 		\ce{^{40}_{19}K} & $\beta$& $1.248\times10^9$\,\\\hline
 484 	\end{tabular}
 485 \end{table}
 486 
 487 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 488 %\section{その他}
 489 \begin{comment}
 490 [1] 著者名/編者名,書名, 発行所,発行都市,発行年. 
 491 
 492 [2] 著者名,表題,雑誌名,巻号,ページ,発行年.
 493 
 494 [3] 著者名/組織名,URL,最終アクセス日.
 495 \end{comment}
 496 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 497 \begin{thebibliography}{99}
 498 \bibitem{bib:timeline}
 499 国立天文台,理科年表プレミアム,物理/化学部,表:単体の密度,表:おもな放射性核種(放射性同位体),\url{http://www.rikanenpyo.jp/member/}(参照 2022-07-16).
 500 
 501 \bibitem{bib:Minienv}
 502 環境省,放射線による健康影響等に関する統一的な基礎資料(平成26年度版), 第1章 放射線の基礎知識と健康影響,自然からの被ばく線量の内訳(日本人),\url{https://www.env.go.jp/chemi/rhm/kisoshiryo/attach/201510mat1s-01-6.pdf}(参照 2022-07-17).
 503 
 504 
 505 \begin{comment}
 506 \bibitem{Eijkhout}
 507 M.Kobayashi and T.Maskawa, ``CP-Violation in the Renormalizable Theory
 508 	of Weak Interaction'', Prog.Theor. Phys., Vol.49 No.2, pp.652-657, 1973.
 509 
 510 \bibitem{tex}
 511 D.E. クヌース,改訂新版 \TeX\ ブック,アスキー出版局,東京,1992. 
 512 
 513 \bibitem{Bech}
 514 S. von Bechtolsheim, \TeX\ in Practice, Springer-Verlag, New York, 1993. 
 515 
 516 \bibitem{hujita}
 517 藤田眞作,化学者・生化学者のための\LaTeX---パソコンによる論文作成の手引,
 518 東京化学同人,東京,1993. 
 519 
 520 \bibitem{Ase}
 521 阿瀬はる美,``てくてく\TeX{}'',
 522 アスキー出版局,東京,1994. 
 523 
 524 \bibitem{Walsh}
 525 N. Walsh, Making \TeX\ Work, O'Reilly \& Associates, Sebastopol, 1994. 
 526 
 527 \bibitem{Salomon}
 528 D. Salomon, The Advanced \TeX\ book, Springer-Verlag, New York, 1995.
 529 
 530 \bibitem{hujita4}
 531 川上三郎,川口四郎,``紫外域半導体レーザ'',1995 電気通信大学技術発表会,
 532 	no.123,pp.20-21,Mar. 1995.
 533 
 534 %\bibitem{last}
 535 %T.Hayashi, Y.Koide, M.Matsuda, M.Tanimoto, ``Neutron Electric Dipole
 536 %	Moment in Two Higgs Doublet Model'',Prog.Theor. Phys., Vol.91 No.5, pp.915-926, 1994.
 537 \end{comment}
 538 \end{thebibliography}
 539 
 540 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 541 \appendix
 542 \setcounter{figure}{0}
 543 \setcounter{table}{0}
 544 \numberwithin{equation}{section}
 545 \renewcommand{\thetable}{\Alph{section}\arabic{table}}
 546 \renewcommand{\thefigure}{\Alph{section}\arabic{figure}}
 547 %\def\thesection{付録\Alph{section}}
 548 \makeatletter 
 549 \newcommand{\section@cntformat}{付録 \thesection:\ }
 550 \makeatother
 551 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 552 \begin{comment}
 553 \section{付録の書き方}
 554  本文に掲載すると煩雑になるような場合で,しかしもう少し詳細に触れなければならないような
 555 ものについては「付録」を利用して掲載する方法もあります.付録ではセクション番号を
 556 大文字のアルファベットにしたりする場合もあります.またこれに応じて式番号も A-1, A-2のように
 557 本文とは違うように書くようにします(図表のキャプションも同様に変えます).
 558 
 559 数式番号は上の\%で囲まれた部分で設定をしていますので,皆さんが特に何かを設定する
 560 必要はありません.
 561 \begin{equation}
 562  E=mc^2
 563  \label{eq-ae}
 564  \end{equation}
 565 
 566 このように表示されます.またこのように\verb|\ref{<label>}| としてレファレンスすれば(\ref{eq-ae})のように
 567 正しく参照されます.
 568 
 569 %
 570 \begin{table}[ht]
 571 \begin{center}
 572 \caption{加熱法による水の比熱の実験結果}
 573 \label{tabA1}
 574 \begin{tabular}{ccc}\hline
 575  & 測定値 & 文献値 \\ \hline
 576 $C/\rm{J \cdot g^{-1} \cdot K^{-1}} $ &  3.1$\pm$ 0.1 & 4.217 \\ \hline
 577 \end{tabular}
 578 \end{center}
 579 \end{table}
 580 
 581 付録には必ずしも掲載するのが必要でないデータの表や,計算の詳細を載せるのに
 582 使うとよいでしょう.ただし,データを全て付録にしてしまうことには慎重であるべきです.
 583 既に記したとおり,本文では皆さんがどのように考え,そのような方法論で結論を
 584 得たのかについて,読者が疑問に思わないように必要なデータ,グラフを掲載することを
 585 忘れないでください.
 586 \end{comment}
 587 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 588 \end{document}
 589 \begin{comment}
 590 \begin{figure}[ht]
 591 \begin{center}
 592  \includegraphics[scale=0.5]{ファイル名}
 593  \caption{タイトル}
 594  %\ecaption{Options of documentclass.}
 595  \label{label1}
 596 \end{center}
 597 \end{figure}
 598 
 599 \begin{table}[ht]
 600 \begin{center}
 601 \caption{タイトル}
 602 \label{table1}
 603 \begin{tabular}{ll}\hline
 604 col1 & col2 \\ \hline
 605 val1 & val2 \\
 606 val3 & val4 \\ \hline
 607 \end{tabular}%
 608 \end{center}
 609 \end{table}
 610 \end{comment}

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