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attachment:エアトラック.tex of hydrogen/基礎科学実験過去レポ

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   1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
   2 %
   3 % レポートテンプレート
   4 %
   5 % updated 22 Oct, 2018
   6 % last updated 02 Apr, 2021
   7 %
   8 % (c) Tohru TAKADA@UEC
   9 % 各自のレポートに合わせて変更して使ってください.上記の行は残して使うこと.
  10 % 2次配布可です.ご利用は計画的に.
  11 %
  12 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  13 \documentclass[a4paper,10pt]{jarticle}
  14 \usepackage[dvipdfmx]{graphicx}
  15 \usepackage{amsmath}
  16 \usepackage{latexsym}
  17 \usepackage{multirow}
  18 \usepackage{url}
  19 \usepackage{physics}
  20 \usepackage{comment}
  21 \usepackage{siunitx}
  22 \setlength{\textwidth}{165mm} %165mm-marginparwidth
  23 \setlength{\marginparwidth}{40mm}
  24 \setlength{\textheight}{225mm}
  25 \setlength{\topmargin}{-5mm}
  26 \setlength{\oddsidemargin}{-3.5mm}
  27 %%表記の定義
  28 \def\vector#1{\mbox{\boldmath $#1$}}
  29 \newcommand{\AmSLaTeX}{%
  30  $\mathcal A$\lower.4ex\hbox{$\!\mathcal M\!$}$\mathcal S$-\LaTeX}
  31 \newcommand{\PS}{{\scshape Post\-Script}}
  32 \def\BibTeX{{\rmfamily B\kern-.05em{\scshape i\kern-.025em b}\kern-.08em
  33  T\kern-.1667em\lower.7ex\hbox{E}\kern-.125em X}}
  34 \newcommand{\pderiv}[2]{{\partial#1\over\partial#2}}
  35 \newcommand{\deriv}[2]{{{\rm d}#1\over{\rm d}#2}}
  36 \newcommand{\dderiv}[2]{{{\rm d}^2#1\over{\rm d}#2^2}}
  37 \newcommand{\DeLta}{{\mit\Delta}}
  38 \renewcommand{\d}{{\rm d}}
  39 \newcommand{\vbl}{\overline{v}}
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  41 \newcommand{\dt}[1]{\frac{\mathrm{d}#1}{\mathrm{d}t}}
  42 \newcommand{\inv}{\ifmmode^{-1}\else$^{-1}$\fi}
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  46 \def\wcaption#1{\caption[]{\parbox[t]{100mm}{#1}}}
  47 \def\rm#1{\mathrm{#1}}
  48 \def\degC{\ifmmode ^\circ \rm{C} \else $^\circ \rm{C}$ \fi}
  49 %%章立ての標識設定
  50 \makeatletter
  51 %\def\section{\@startsection {section}{1}{\z@}{-3.5ex plus -1ex minus % -.2ex}{2.3ex plus .2ex}{\Large\bf}}
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  53 -.2ex}{2.3ex plus .2ex}{\normalsize\bf}}
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  55 
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  58 -.2ex}{2.3ex plus .2ex}{\normalsize\bf}}
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  60 
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  63    {\csname the#1\endcsname\quad}%      default
  64    {\csname #1@cntformat\endcsname}%    enable individual control
  65 }
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  67 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  68 \newif\ifEps
  69 \newif\ifKLs
  70 \Epsfalse
  71 \KLsfalse
  72 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  73 \begin{document}
  74 
  75 %
  76 %% 通常は指定の表紙を付けて印刷して提出していますが,電子データをアップロードする際は
  77 %% 表紙は付けなくても結構です.冒頭にタイトル,所属,学籍番号,氏名と記載日
  78 %% 修正版を提出する際は更新日を書いてください
  79 %
  80 \begin{center}
  81 {\Large{\bf エアトラックによる力学実験}} \\
  82 {\bf 電気通信大学 I類 \\ %XXプログラム\\
  83 2210632 宗村キヤ} \\
  84 {\bf 2022年6月27日作成} \\
  85 {\bf 2022年7月10日更新} % 修正版提出時のみ
  86 \end{center}
  87 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  88 \section{目的}
  89 
  90  エア・トラック(力学滑走台)は,内側から噴出する空気で物体を少し浮かせることで,ほとんど摩擦なく物体を走らせる装置
  91 である.これの上における物体の直線運動を観測して,そのデータをグラフにプロットして,空気の粘性抵抗係数と慣性抵抗係数
  92 を求める.\ifEps また,エア・トラック上で物体が板ばねに衝突して反発する前後の速さを測定して,板ばねとの反発係数を求
  93 める.\fi
  94 
  95 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  96 \section{原理}
  97 \subsection{エアトラックの傾斜の測定}
  98 エア・トラック上を直線運動をする物体に掛かる力は主に次の4つである.なお,$m$は物体の質量,$g$は重力加速度,$\theta$
  99 物体の運動する直線の水平からの傾き角である.ただし,図\ref{fig:Degree}のように運動方向の半直線が水平の下側に来るときは
 100 $\theta$を負とし,上側に来るときは$\theta$を正とする.
 101 \begin{enumerate}
 102 	\item 重力(大きさ:$mg$
 103 	\item 摩擦(大きさ:$\mu mg\cos\theta$
 104 	\item 空気の粘性抵抗(大きさ:$\lambda v$
 105 	\item 空気の慣性抵抗(大きさ:$\kappa v^2$
 106 \end{enumerate}
 107 \begin{figure}[ht]
 108 	\centering
 109 	\includegraphics{Degree.pdf}
 110 	\label{fig:Degree}
 111 	\caption{角度$\theta$の正負の対応}
 112 \end{figure}
 113 これを用いて,物体の運動方向の運動方程式を立てると式(\ref{eq:AEq})のようになる.
 114 \begin{equation}
 115 	m\dv{v}{t}=-\mu mg\cos\theta-\lambda v-\kappa v^2+mg\sin\theta \label{eq:AEq}
 116 \end{equation}
 117 エア・トラック上では$\mu\simeq0$と近似できるため,
 118 \begin{equation}
 119 	m\dv{v}{t}=-\lambda v-\kappa v^2+mg\sin\theta\label{eq:mdv}
 120 \end{equation}
 121 である.ここで,等加速度運動の式$v^2-v_0^2=2ax$から,互いに距離$s$だけ離れた2地点それぞれを通過する速度
 122 $v_1$$v_2$を用いて,$\vbl$$\abl$を定めることが出来る.
 123 \begin{eqnarray}
 124 	\vbl=\frac{v_1+v_2}{2}\label{eq:vb}\\
 125 	\abl=\frac{v_1^2-v_2^2}{2s}\label{eq:ab}
 126 \end{eqnarray}
 127 これを用いて先の式を書き換えることが出来る.両辺を$mg$で割り,滑走体のエアトラック上の運動方程式を減速の
 128 平均の加速度 $\overline{a}$ と平均速度 $\overline{v}$ で記述した次の式が導かれる.
 129 \begin{equation}
 130 \frac{\overline{a}}{g}=\left(\frac{\lambda}{mg}\right)\overline{v}+\left(\frac{\kappa}{mg}\right)\overline{v}^2\mp\sin\theta\label{eq:ag}%\mu \cos\theta +
 131 \end{equation}
 132 微小角$\theta$に対し,$\sin\theta\simeq\theta$であるから,式(\ref{eq:ag})により,横軸に$\vbl$,縦軸
 133 $\frac{\abl}{g}$を取ったときの,$y$切片が$\theta$に一致する.
 134 \subsection{$\kappa$$\lambda$の決定}
 135 式(\ref{eq:mdv})に式(\ref{eq:vb}),(\ref{eq:ab})と$\sin\theta\simeq\theta$を適用して,両辺を$m\vbl$で割ると,
 136 \begin{align}
 137 	\abl=&\frac{\lambda}{m}+\frac{\kappa}{m}\vbl+g\frac{\theta}{\vbl}&(\theta\neq0)\label{eq:tnza}\\
 138 	\abl=&\frac{\lambda}{m}+\frac{\kappa}{m}\vbl&(\theta=0)\label{eq:tza}
 139 \end{align}
 140 となる.$\theta=0$であれば,$y$切片と直線の傾きから$\lambda$$\kappa$を決定できる.
 141 \ifEps
 142 \section{空気抵抗の存在下における反発係数の求め方}
 143 \fi
 144 
 145 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 146 \section{方法}
 147 \subsection{実験器具}
 148 エアトラックの構造を図\ref{fig:Airtruck}に示す.これはトラック上にある小さな穴から空気を吹き出すことで,滑走体を浮かせて摩擦を最小限に
 149 抑える装置である.滑走体を図\ref{fig:Kas}に示す.これには黒い板が取り付けられており,エアトラックに間隔を開けて置いた2つのセンサー
 150 でこれの通過を検知する.そして,センサーを黒い板が通過しきるまでの時間を計測する.これによって,センサー通過時の速度
 151 が計測できる.
 152 \begin{figure}[ht]
 153 	\centering
 154 	\includegraphics[scale=0.7]{Airtruck.pdf}
 155 	\label{fig:Airtruck}
 156 	\caption{エアトラックの大まかな構造}
 157 \end{figure}
 158 \begin{figure}[ht]
 159 	\centering
 160 	\includegraphics{Kassoutai.pdf}
 161 	\label{fig:Kas}
 162 	\caption{滑走体の構造}
 163 \end{figure}
 164 \subsection{手順}
 165 \begin{enumerate}
 166 	\item リングを見て,エアトラックに歪みがないか確認した.
 167 	\item 滑走台と滑走体をエタノールの染み込んだティッシュで清掃した.
 168 	\item センサーの間隔$s$と滑走台の全長$L$\ifEps センサー2からバネまでの距離$d$\fi ,滑走体の質量$m$,滑走体の開いた部分の面積$S$,そして黒い板の長辺の長さ$\Delta s$を直定規で測った.
 169 	\item 送風機と測定機器のスイッチを入れた.
 170 	\item 滑走体を滑走台上に乗せ,それが往復運動をするようになるまで,調節足のねじを用いておよその傾斜を調節した.
 171 	\item 滑走体を左右に何度か走らせて1往復したのちのセンサー1,2における滑走体の通過にかかる時間$\Delta t_1$$\Delta t_2$を測定した.
 172 	\item 測定結果から$\frac{\abl}{g}$$\vbl$を何度か求め,グラフ用紙にプロットし滑走台の傾斜$\theta$を求めた.
 173 	\item 先の結果を用いて,滑走台を水平に近づけた.
 174 	\item 滑走体を何度か走らせて計測を行った.
 175 	\ifEps\item 滑走体がセンサー2を通過して滑走台端のバネに衝突して反発した後,再びセンサー2を通過した際に衝突の前後のセンサー2の通過に要した時間を計測した.
 176 \fi\end{enumerate}
 177 
 178 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 179 \section{実験結果}
 180 \subsection{$s$\ifEps$d$\fi$m$$S$$\ds$$L$の測定}
 181 使用した滑走体(2A)の質量$m$は,
 182 \begin{equation}
 183 	m=\SI{37.3}{g}
 184 \end{equation}
 185 であり,黒い板の長辺の長さ$\ds$は,
 186 \begin{equation}
 187 	\ds=\SI{6.0}{cm}
 188 \end{equation}
 189 そして,センサー間隔$s$は,
 190 \begin{equation}
 191 	s=\SI{91.2}{cm}
 192 \end{equation}
 193 一般に$x\pm\Delta x$$y\pm\Delta y$と測定された2つの量によって$z=xy$と定まる量$z$の不確かさ$\Delta z$は,
 194 \begin{equation}
 195 	\Delta z=\sqrt{(\Delta x)^2y^2+x^2(\Delta y)^2}
 196 \end{equation}
 197 で表される.
 198 滑走体の開いた部分の面積$S$は不確かさを考慮して,
 199 \begin{equation}
 200 	S=(9.20\pm0.01)\,\si{cm}\times(3.51\pm0.01)\,\si{cm}=(32.3\pm0.1)\,\si{cm^2}
 201 \end{equation}
 202 滑走台の全長$L$は,
 203 \begin{equation}
 204 	L=\SI{1196}{mm}
 205 \end{equation}
 206 \ifEps
 207 滑走台の端からセンサー2までの距離$d$は,
 208 \begin{equation}
 209 	d=\SI{137}{mm}
 210 \end{equation}
 211 \fi
 212 
 213 \subsection{滑走台の傾斜の調整}
 214 センサーを通過するのに要した時間\ddt を用いて,センサーを通過する時の滑走体の速さ$v$を次の式で求められる.
 215 \begin{equation}
 216 	v=\frac{\ds}{\ddt}\label{eq:vFromddt}
 217 \end{equation}
 218 右向きに走らせた時の測定結果を表\ref{table:ValidR}に,左向きに走らせた時の測定結果を表\ref{table:ValidL}に示した.
 219 \begin{table}[ht]
 220 	\label{table:ValidR}
 221 	\caption{右向きに走らせた時のセンサーを通過するのに要した時間}
 222 	\centering
 223 	\begin{tabular}{rrcccl}
 224 		\multicolumn{1}{c}{$\frac{\Delta t_1}{\mathrm{s}}$} & \multicolumn{1}{c}{$\frac{\Delta t_2}{\mathrm{s}}$} & $\frac{v_1}{\SI{}{cm.s\inv}}$ &
 225 		$\frac{v_2}{\SI{}{cm.s\inv}}$ & $\frac{\vbl}{\SI{}{cm.s\inv}}$ & $\abl/g\times10^{-3}$ \\\hline % & $\frac{\abl\cdot\vbl\inv}{\SI{}{s\inv}}\times10\dinv$
 226 		122.7871 & 132.2218 & 49 & 45 & 47 & 1.8 \\
 227 		215.1325 & 254.1278 & 28 & 24 & 26 & 1.2 \\
 228 		82.6370 & 86.5264 & 73 & 69 & 71 & 2.6 \\
 229 		73.0773 & 75.8084 & 82 & 79 & 81 & 2.7 \\
 230 		65.5225 & 67.7623 & 92 & 89 & 90 & 3.0 \\
 231 		266.6214 & 322.5477 & 23 & 19 & 21 & 0.90 \\
 232 		121.9627 & 131.2098 & 49 & 46 & 47 & 1.8 \\ \hline
 233 	\end{tabular}
 234 \end{table}
 235 
 236 \begin{table}[ht]
 237 	\label{table:ValidL}
 238 	\caption{左向きに走らせた時のセンサーを通過するのに要した時間}
 239 	\centering
 240 	\begin{tabular}{rrcccl}
 241 		\multicolumn{1}{c}{$\frac{\Delta t_1}{\mathrm{s}}$} & \multicolumn{1}{c}{$\frac{\Delta t_2}{\mathrm{s}}$} & $\frac{v_1}{\SI{}{cm.s\inv}}$ &
 242 		$\frac{v_2}{\SI{}{cm.s\inv}}$ & $\frac{\vbl}{\SI{}{cm.s\inv}}$ & $\abl/g\times10^{-3}$ \\\hline % & $\frac{\abl\cdot\vbl\inv}{\SI{}{s\inv}}\times10\dinv$
 243 		186.9295 & 202.3291 & 32 & 30 & 31 & 0.84 \\
 244 		259.8573 & 291.5961 & 23 & 21 & 22 & 0.61 \\
 245 		131.3685 & 139.4264 & 46 & 43 & 44 & 1.3 \\
 246 		82.2114 & 86.5511 & 73 & 69 & 71 & 2.9 \\
 247 		61.1129 & 63.8973 & 98 & 94 & 96 & 4.6 \\\hline
 248 	\end{tabular}
 249 \end{table}
 250 \ref{fig:corrGraph}に左向きと右向きそれぞれの$\frac{\abl}{g}$$\vbl$をプロットしたグラフを示す.
 251 \begin{figure}[ht]
 252 	\includegraphics[scale=0.4]{11_Graph.pdf}
 253 	\label{fig:corrGraph}
 254 	\caption{滑走台の水平を確かめるグラフ}
 255 \end{figure}
 256 グラフから滑走台の傾斜$\theta$$0.16\times10^{-3}$と読み取った.
 257 調節ねじのピッチは\SI{1.25}{mm}であるから,
 258 \begin{equation}
 259 	\frac{360}{1.25}L\theta=\ang{55}
 260 \end{equation}
 261 よって,調節ねじを$\ang{55}$時計回りに回転させればよい.
 262 
 263 \subsection{$\lambda$$\kappa$の決定}
 264 \ref{table:LKSub}に滑走体を走らせた時のセンサー1,2それぞれを通過するのに要した時間を示す.
 265 \begin{table}
 266 	\label{table:LKSub}
 267 	\caption{$\lambda$$\kappa$の決定}
 268 	\centering
 269 	\begin{tabular}{rrcccc}
 270 		\multicolumn{1}{c}{$\frac{\Delta t_1}{\mathrm{s}}$} & \multicolumn{1}{c}{$\frac{\Delta t_2}{\mathrm{s}}$} & $\frac{v_1}{\si{cm.s\inv}}$ &
 271 		$\frac{v_2}{\si{cm.s\inv}}$ & $\frac{\vbl}{\si{cm.s\inv}}$ & $\frac{\abl\cdot\vbl\inv}{\si{s\inv}}\times10\dinv$ \\\hline
 272 		111.1356 & 119.4240 & 54 & 50 & 52 & 4.1  \\
 273 %		86.9073 & 95.2164 & 69 & 63 & 66 & 6.6  \\
 274 		55.4691 & 57.1106 & 108 & 105 & 107 & 3.4  \\
 275 		181.9422 & 208.3570 & 33 & 29 & 31 & 4.6  \\
 276 		273.6107 & 364.3309 & 22 & 16 & 19 & 6.0  \\\hline
 277 	\end{tabular}
 278 \end{table}
 279 %傾き-0.0187,切片5.9678
 280 
 281 最小二乗法を用いた一次関数の近似は2つの量$x$$y$の関係として求める式を$y=ax+b$としたとき,$a$$b$は以下のようにして得られる.
 282 なお,$x$$y$$n$個の測定値を整数$i$を用いて$x_i$$y_i$のように表す.また,$\sum_{i=1}^n$を単に$\sum$と表す.
 283 \begin{align}
 284 	b=&\frac{\sum x_i^2\sum y_i-\sum x_i\sum x_iy_i}{n\sum x_i^2-\left(\sum x_i\right)^2}\label{eq:b2nd}\\
 285 	a=&\frac{\sum x_i(y_i-b)}{\sum x_i^2}\label{eq:a2nd}
 286 \end{align}
 287 式(\ref{eq:b2nd}),(\ref{eq:a2nd})を用いて2つの量$\vbl$$\abl\vbl\inv$の関係式を求めると,
 288 \begin{eqnarray}
 289 	a=-2.5\times10^{-4}\,\si{cm\inv}\\
 290 	b=5.8\times10\dinv\,\si{s\inv}
 291 \end{eqnarray}
 292 よって,表\ref{table:LKSub}に示す$\vbl$$\abl\vbl\inv\times10^2$をプロットしたグラフとその近似直線を図\ref{fig:Graph2}に示す.
 293 \begin{figure}[ht]
 294 	\centering
 295 	\includegraphics{11_Graph2.pdf}
 296 	\label{fig:Graph2}
 297 	\caption{$\vbl$$\abl\vbl\inv$の関係}
 298 \end{figure}
 299 また,$a$$b$の不確かさ$\Delta a$$\Delta b$はそれぞれ
 300 \begin{align}
 301 	\Delta b=& \sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n\sum x_i^2-\left(\sum x_i\right)^2}\cdot\frac{\sum(a+bx_i-y_i)^2}{n-2}}\\
 302 	\Delta a=& \sqrt{\frac{n}{n\sum x_i^2-\left(\sum x_i\right)^2}\cdot\frac{\sum(a+bx_i-y_i)^2}{n-2}}
 303 \end{align}
 304 で求められる.計算した結果は以下の通り.
 305 \begin{eqnarray}
 306 	\Delta a=1\times10^{-4}\,\si{cm\inv}\\
 307 	\Delta b=6\times10^{-3}\,\si{s\inv}
 308 \end{eqnarray}
 309 式(\ref{eq:tza})から,$\lambda$$\kappa$をそれぞれ求めた.
 310 \begin{eqnarray}
 311 	\lambda=bm=(5.8\pm0.6)\times10\dinv\,\si{s\inv}\cdot37.3\pm0.1\,\si{g}=2.2\pm0.2\,\si{g.s\inv}\\
 312 	\kappa=am=(-3\pm1)\times10^{-4}\,\si{cm\inv}\cdot37.3\pm0.1\,\si{g}=(-1\pm4)\times10^{-3}\,\si{g.cm\inv}
 313 \end{eqnarray}
 314 
 315 
 316 
 317 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 318 \section{考察}
 319 \subsection{滑走台の傾斜の調節}
 320 \ref{fig:corrGraph}を見ると,右向きに走らせた時の結果のグラフが直線となっている.そのため,傾斜角$\theta$としては
 321 左向きに走らせた時の結果のグラフの切片を採用した.このようになる理由としては,周囲の空気の流れや,小さな穴の位置による運
 322 動への影響などの理由が挙げられるが,今回のデータの数ではこれらの検証をするのはとても難しいであろう.
 323 \subsection{滑走体に作用する抵抗力}
 324 \eqref{eq:AEq}より,滑走体に作用する抵抗力の大きさ$f$は,$\mu=0$$\theta=0$であるから,
 325 \begin{equation}
 326 	f=\lambda v + \kappa v^2\label{eq:aeroF}
 327 \end{equation}
 328 $f-v$グラフに式\eqref{eq:aeroF}を書いたものを図\ref{fig:fv}に示す.
 329 \begin{figure}
 330 	\centering
 331 	\includegraphics{11_Graph_fv.pdf}
 332 	\label{fig:fv}
 333 	\caption{滑走体に作用する抵抗力の大きさ$f$と滑走体の速さ$v$の関係}
 334 \end{figure}
 335 このグラフは殆ど直線であり,\SI{120}{cm/s}程度の速度ではあまり慣性抵抗の影響が表れず,粘性抵抗が主となることが分かる.
 336 \ifKLs
 337 \subsection{$\lambda$$\kappa$の決定}
 338 今回の実験では,速度の測定によって粘性抵抗係数$\lambda$と,慣性抵抗係数$\kappa$を求めた.それぞれの相対不確かさは,	
 339 \begin{eqnarray}
 340 	\frac{\Delta\lambda}{\lambda}=0.09\\
 341 	\frac{\Delta\kappa}{\kappa}=-4
 342 \end{eqnarray}
 343 となった.ここでは,$\kappa$の値が小さいことについて考察する.
 344 
 345 $\kappa$の値は次の式で求められる.ここで,$C$は形状に依存する定数,$\rho$は空気の密度,$S$は物体の断面積である.
 346 \begin{equation}
 347 	\kappa=\frac{1}{2}C\rho S\label{eq:kappa}
 348 \end{equation}
 349 空気の密度は20\degC でおおよそ\SI{1.20}{kg.m^{-3}}
 350 \fi
 351 \subsection{初速1\,m/sの滑走体が制止するまでに動く距離}
 352 \eqref{eq:AEq}より,
 353 \begin{eqnarray}
 354 	m\dt{v}=-(\lambda v+\kappa v^2)\\
 355 	\dv{x}{v}=\frac{\dt{x}}{\dt{v}}=-\frac{mv}{\lambda v+\kappa v^2}=-\frac{m}{\lambda+\kappa v}\label{eq:vdv}
 356 \end{eqnarray}
 357 $x=0$の時,$v=v_0$$x=x_\infty$の時,$v=0$とすると,式\eqref{eq:vdv}の両辺を$v$$v_0$から
 358 $0$まで積分して,
 359 \begin{eqnarray}
 360 	\nonumber x_\infty-0=\frac{m}{\kappa}\log\frac{\lambda+\kappa v_0}{\lambda+\kappa 0}\\
 361 	x_\infty=\frac{m}{\kappa}\log(1+\frac{\kappa}{\lambda}v_0)\label{eq:xinfty}
 362 \end{eqnarray}
 363 このとき,$x_\infty$は初速$v_0$の滑走体が十分に長い滑走台の上を停止するまでに移動する距離と一致する.
 364 \eqref{eq:xinfty}$v_0=\SI{100}{cm/s}$と予め求めた$\lambda$$\kappa$の値と$m$を代入すると,
 365 \begin{equation}
 366 	x_\infty=7\pm2\,\si{m}
 367 \end{equation}
 368 となった.なお,$x_\infty$の不確かさ$\Delta x_\infty$$v_0$の不確かさを0として次の式で求めた.
 369 \begin{eqnarray}
 370 	\pdv{x_\infty}{\kappa}=\frac{mv_0}{\kappa\lambda((\frac{\kappa}{\lambda}v_0 + 1)}
 371 	-\frac{m\log(\frac{\kappa}{\lambda}v_0 + 1)}{\kappa^2}\\
 372 	\pdv{x_\infty}{\lambda}=-\frac{mv_0}{\lambda(\kappa v_0 + \lambda)}\\
 373 	\pdv{x_\infty}{m}=\frac{\log(\frac{\kappa}{\lambda}v_0 + 1)}{\kappa}\\
 374 	\Delta x_\infty=\sqrt{\left(\pdv{x_\infty}{\kappa}\right)^2(\Delta\kappa)^2+
 375 	\left(\pdv{x_\infty}{\lambda}\right)^2(\Delta\lambda)^2+\left(\pdv{x_\infty}{m}\right)^2(\Delta m)^2}
 376 \end{eqnarray}
 377 \subsection{滑走体と滑走台の間の空気層の厚さ$d_a$}
 378 滑走体と滑走台の間の空気層の厚さ$d_a$は,空気の粘性率$\eta$,滑走体の開いた部分の面積$S$,粘性抵抗係数$\lambda$を用いて,
 379 \begin{equation}
 380 	d_a=\frac{\eta S}{\lambda}
 381 \end{equation}
 382 と表される.20\degC における空気の粘性率の文献値は$\eta=18.2\times10^{-6}\,\si{N.s.m\dinv}$であるから,求めた$\lambda$$S$の値を用いて,
 383 \begin{equation}
 384 	d_a=(2.7\pm0.2)\times10^{-4}\,\si{cm}
 385 \end{equation}
 386 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 387 %\section{その他}
 388 \begin{comment}
 389 [1] 著者名/編者名,書名, 発行所,発行都市,発行年. 
 390 
 391 [2] 著者名,表題,雑誌名,巻号,ページ,発行年.
 392 
 393 [3] 著者名/組織名,URL,最終アクセス日.
 394 \end{comment}
 395 
 396 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 397 \begin{thebibliography}{99}
 398 \bibitem{bib:timeline}
 399 国立天文台,理科年表プレミアム,物理/化学部,表:気体の粘度,\ifKLs 表:空気の密度,\fi\url{http://www.rikanenpyo.jp/member/}(参照 2022-07-02).
 400 
 401 \ifKLs
 402 \bibitem{bib:textbook}
 403 原康夫,第5版 物理学基礎,学習図書出版社,p.45,2021.
 404 \fi
 405 
 406 \begin{comment}
 407 \bibitem{Eijkhout}
 408 M.Kobayashi and T.Maskawa, ``CP-Violation in the Renormalizable Theory
 409 	of Weak Interaction'', Prog.Theor. Phys., Vol.49 No.2, pp.652-657, 1973.
 410 
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 412 D.E. クヌース,改訂新版 \TeX\ ブック,アスキー出版局,東京,1992. 
 413 
 414 \bibitem{Bech}
 415 S. von Bechtolsheim, \TeX\ in Practice, Springer-Verlag, New York, 1993. 
 416 
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 418 藤田眞作,化学者・生化学者のための\LaTeX---パソコンによる論文作成の手引,
 419 東京化学同人,東京,1993. 
 420 
 421 \bibitem{Ase}
 422 阿瀬はる美,``てくてく\TeX{}'',
 423 アスキー出版局,東京,1994. 
 424 
 425 \bibitem{Walsh}
 426 N. Walsh, Making \TeX\ Work, O'Reilly \& Associates, Sebastopol, 1994. 
 427 
 428 \bibitem{Salomon}
 429 D. Salomon, The Advanced \TeX\ book, Springer-Verlag, New York, 1995.
 430 
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 432 川上三郎,川口四郎,``紫外域半導体レーザ'',1995 電気通信大学技術発表会,
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 434 
 435 %\bibitem{last}
 436 %T.Hayashi, Y.Koide, M.Matsuda, M.Tanimoto, ``Neutron Electric Dipole
 437 %	Moment in Two Higgs Doublet Model'',Prog.Theor. Phys., Vol.91 No.5, pp.915-926, 1994.
 438 \end{comment}
 439 \end{thebibliography}
 440 
 441 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 442 \appendix
 443 \setcounter{figure}{0}
 444 \setcounter{table}{0}
 445 \numberwithin{equation}{section}
 446 \renewcommand{\thetable}{\Alph{section}\arabic{table}}
 447 \renewcommand{\thefigure}{\Alph{section}\arabic{figure}}
 448 %\def\thesection{付録\Alph{section}}
 449 \makeatletter 
 450 \newcommand{\section@cntformat}{付録 \thesection:\ }
 451 \makeatother
 452 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 453 \begin{comment}
 454 \section{付録の書き方}
 455  本文に掲載すると煩雑になるような場合で,しかしもう少し詳細に触れなければならないような
 456 ものについては「付録」を利用して掲載する方法もあります.付録ではセクション番号を
 457 大文字のアルファベットにしたりする場合もあります.またこれに応じて式番号も A-1, A-2のように
 458 本文とは違うように書くようにします(図表のキャプションも同様に変えます).
 459 
 460 数式番号は上の\%で囲まれた部分で設定をしていますので,皆さんが特に何かを設定する
 461 必要はありません.
 462 \begin{equation}
 463  E=mc^2
 464  \label{eq-ae}
 465  \end{equation}
 466 
 467 このように表示されます.またこのように\verb|\ref{<label>}| としてレファレンスすれば(\ref{eq-ae})のように
 468 正しく参照されます.
 469 
 470 %
 471 \begin{table}[ht]
 472 \begin{center}
 473 \caption{加熱法による水の比熱の実験結果}
 474 \label{tabA1}
 475 \begin{tabular}{ccc}\hline
 476  & 測定値 & 文献値 \\ \hline
 477 $C/\rm{J \cdot g^{-1} \cdot K^{-1}} $ &  3.1$\pm$ 0.1 & 4.217 \\ \hline
 478 \end{tabular}
 479 \end{center}
 480 \end{table}
 481 
 482 付録には必ずしも掲載するのが必要でないデータの表や,計算の詳細を載せるのに
 483 使うとよいでしょう.ただし,データを全て付録にしてしまうことには慎重であるべきです.
 484 既に記したとおり,本文では皆さんがどのように考え,そのような方法論で結論を
 485 得たのかについて,読者が疑問に思わないように必要なデータ,グラフを掲載することを
 486 忘れないでください.
 487 \end{comment}
 488 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 489 \end{document}
 490 \begin{comment}
 491 \begin{figure}[ht]
 492 \begin{center}
 493  \includegraphics[scale=0.5]{ファイル名}
 494  \caption{タイトル}
 495  %\ecaption{Options of documentclass.}
 496  \label{label1}
 497 \end{center}
 498 \end{figure}
 499 
 500 \begin{table}[ht]
 501 \begin{center}
 502 \caption{タイトル}
 503 \label{table1}
 504 \begin{tabular}{ll}\hline
 505 col1 & col2 \\ \hline
 506 val1 & val2 \\
 507 val3 & val4 \\ \hline
 508 \end{tabular}%
 509 \end{center}
 510 \end{table}
 511 \end{comment}

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